CÁLCULO NUMÉRICO WEB 2 - KARLA ADRIANA

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CÁLCULO NUMÉRICO
WEBCONFERÊNCIA I
Karla Adriana
Roteiro
1. Método do Meio Intervalo
2. Método Newton-Raphson
3. Método da Secante
Equação não lineares
A resolução de sistemas não lineares consiste em determinar os
valores x que tornam nulo o valor da função f, ou seja, resolve a
equação f(x) = 0.
1. Método do Meio Intervalo
2. Método Newton-Raphson
3. Método da Secante
Método do Meio Intervalo ou 
Bisseção
Considere o intervalo [a,b]. Calculamos primeiro o valor da
função f(x) no ponto médio:
SE f(x1) =0, x1 é zero de f e não precisa fazer mais nada.
SE f(a) * f(b) < 0, então f tem um zero entre a e b.
SE f(a) * f(b) > 0, então f neste intervalo, não apresenta um
zero a bx1
Método do Meio Intervalo
Exemplo: Dada a função f(x) = x3 – 9x + 3. Encontre uma raiz
real no intervalo [0.0000, 1.0000], de modo que o valor absoluto
|f(x)| ≤ € = 0,001.
Quantas interações mínimas serão necessárias?
k = 10
f(x) = x3 – 9x + 3; [0.0000, 1.0000]; |f(x)| ≤ € = 0,001.
Media Sinal erro
k ak bk xk f(ak) f(bk) f(kx) f(ak).f(xk) |f(xk)|
0 0,000 1,000 0,500 3,000 -5,000 -1,375 -4,125 1,3750
1 0,000 0,500 0,250 3,000 -1,375 0,766 2,297 0,7656
2 0,250 0,500 0,375 0,766 -1,375 -0,322 -0,247 0,3223
3 0,250 0,375 0,313 0,766 -0,322 0,218 0,167 0,2180
4 0,313 0,375 0,344 0,218 -0,322 -0,053 -0,012 0,0531
5 0,313 0,344 0,328 0,218 -0,053 0,082 0,018 0,0822
6 0,328 0,344 0,336 0,082 -0,053 0,014 0,001 0,0145
7 0,336 0,344 0,340 0,014 -0,053 -0,019 0,000 0,0193
8 0,336 0,340 0,338 0,014 -0,019 -0,002 0,000 0,0024
9 0,336 0,338 0,337 0,014 -0,002 0,006 0,000 0,0060
10 0,337 0,338 0,337 0,006 -0,002 0,002 0,000 0,0018
11 0,337 0,338 0,338 0,002 -0,002 0,000 0,000 0,0003
Método de Newton-Raphson
Esse método é bastante simples e de convergência rápida. Faz-
se necessário que se conheça a derivada de f(x)
Método de Newton-Raphson
Exemplo: Dada a função f(x) = x3 – 4x2 + 2, aplique o método
para fazer uma estimativa da raiz. Leve em consideração como
valor inicial x0 = 4.0000, e critério de parada |f(x)| ≤ € = 0,01
1)Calcular a primeira derivada da função
f’(x) = 3x2 – 8x
erro
k xk f(xk) f'(xk) |f(xk)|
0 4,0000 2,0000 16,0000 2,0000
1 3,8750 0,1230 14,0469 0,1230
2 3,8662 0,0006 13,9135 0,0006
3 3,8662 0,0000 13,9129 0,0000
f(x) = x3 – 4x2 + 2; f’(x) = 3x2 – 8x; x0 = 4; |f(x)| ≤ 0,01
Método da Secante
Um problema em potencial na implementação do Método de
Newton-Raphson é o cálculo da derivada, pois há certas
funções cujas derivadas podem ser extremamente difíceis ou
inconvenientes para calcular. Neste sentido, surge o Método da
Secante, como uma alternativa.
Método da Secante
Aplica o método de Bozano: se o valor for melhor
que 0, então existe pelo menos uma raiz no intervalo.
Método da Secante
Exemplo: Determine a raiz no intervalo [4, 5] para f(x) = x3 - 3x2 -
8x+5. Admita que o critério de convergência é |f(xk)| ≤ 0,001.
Aplicando o método de Bozano: f(x0) . f(x1) = -165, logo é < 0
f(x0) = 4
3 - 3*42 – 8*4 + 5 = -11
f(x1) = 5
3 - 3*52 – 8*5 + 5 = 15
f(x) = x3 - 3x2 - 8x+5; [4, 5]; |f(xk)| ≤ 0,001
Critério de parada
k xk f(xk) |f(xk)|
0 5,0000 15,0000 15,0000
1 4,0000 -11,0000 11,0000
2 4,4231 -2,5441 2,5441
3 4,5504 0,6987 0,6987
4 4,5229 -0,0287 0,0287
5 4,5240 -0,0003 0,0003
f(x0) = 4
3 - 3*42 – 8*4 + 5 = -11
f(x1) = 5
3 - 3*52 – 8*5 + 5 = 15