AVALIACAO SUBSTITUITIVA CALCULO NUMERICO

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AVALIAÇÃO SUBSTITUTIVA/COMPENSATÓRIA 
 
Caro(a) acadêmico(a), antes de iniciar a prova leia as instruções a seguir. 
 
• A PROVA É INDIVIDUAL. Qualquer indício do contrário, os acadêmicos serão convocados pelo 
professor. 
• INÍCIO: 15:50h – TÉRMINO: 18:15h. 
• QUANTIDADE DE QUESTÕES: 5 (cinco). 
• É permitido o uso de calculadora e formulário (disponível no final da prova). 
• A resolução da sua prova deve ser feita em uma folha branca e CONSTAR SEU NOME EM TODAS 
AS FOLHAS DA PROVA. 
• NÃO ESQUEÇA DE COLOCAR O NÚMERO DA QUESTÃO CORRESPONDENTE À SUA 
RESOLUÇÃO. 
• Resolva a prova de forma legível e ao finalizar você deverá ENVIAR PREFERENCIALMENTE EM 
FORMATO .PDF pelo google Classroom na seção AVALIAÇÕES ONLINE. 
• TODAS AS QUESTÕES QUE ENVOLVEM CÁLCULOS E QUE JUSTIFICAM A SUA 
RESPOSTA DEVERÃO SER ANEXADOS À SUA AVALIAÇÃO. 
 
• OS CÁLCULOS DAS QUESTÕES QUE ENVOLVEM FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, A 
CALCULADORA DEVE ESTAR EM RADIANOS. 
 
 
• A RESOLUÇÃO DA PROVA DEPENDE DO NÚMERO DE SUA MATRÍCULA NA 
UNIMONTES, PORTANTO CASO NÃO TENHA ESSE NÚMERO ME PROCURE. 
 
 
Boa prova! 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Estadual de Montes Claros - UNIMONTES 
Curso: Engenharia Civil / 20 Período 
Disciplina: Cálculo Numérico 
Prof.: Warley Ferreira da Cunha 
Acadêmico(a):__________________________________________Data:08/12/2021 
 
QUESTÃO 1) 
Considere o sistema de equações lineares 𝐴𝑋 = 𝐵, sendo 𝐴 = [
1 1 0
1 2 −1
0 −1 3
] e 𝐵 a matriz constituída dos 
três últimos números da sua matrícula na Unimontes. 
 Por exemplo, se o número da sua matrícula é 100016230, a sua matriz 𝐵 é da forma 𝐵 = [
2
3
0
]. 
a) (0,5 ponto) Verificar se 𝐴 satisfaz as condições da decomposição 𝐿𝑈; 
b) (2 pontos) Escreva a igualdade 𝐿𝑈 = 𝑃𝐴, determinando as matrizes 𝐿, 𝑈 e a matriz de permutação 𝑃; 
c) (2 pontos) Resolva o sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 pelo método de decomposição 𝐿𝑈 usando a pivotação parcial; 
d) (0,5ponto) Seria possível resolver o sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 pelo método da decomposição de Cholesky? 
Justifique sua resposta sem resolver o sistema. 
 
QUESTÃO 2) 
Analise o fluxograma a seguir. 
 
 
Seja 𝑝 uma função dada por 𝑝(𝑥) = 𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠(𝑥). Use o método numérico descrito pelo fluxograma acima 
e faça o que se pede: 
a) (1 ponto) Mostre que existe uma raiz 𝑚 no intervalo [−1,5 ; 0]. 
b) (2 pontos) Esta raiz é única neste intervalo? Justifique sua resposta. 
c) (2 pontos) Caso sua resposta tenha sido afirmativa no item b), determine a raiz aproximada 𝑚 desta função 
𝑝 com 𝜀 ≤ 4 × 10−2. 
 
QUESTÃO 3) 
Considere a seguinte função tabela 
 
𝑥𝑖 - 2 - 1 0 2 
𝑓(𝑥𝑖) -3 2 3 5 
 
a) (2 pontos) Determine o polinômio interpolador de Lagrange cujo gráfico passa por esses quatro pontos. 
 
b) (1 ponto) Existe um polinômio interpolador de grau 2 cujo gráfico passa por esses pontos? Justifique 
detalhadamente sua resposta. 
 
c) (2 pontos) Existe um polinômio de grau 4 cujo gráfico passa por esses pontos? Se existir, dê um exemplo. 
Esse polinômio é único? 
 
QUESTÃO 4) 
Determine o menor número de subintervalos, 𝑛, necessários para aproximar 
∫ 
1
𝑥 + 4
 𝑑𝑥
2
0
 
com erro 𝜖 ≤ 10−5 usando a: 
 
a) (2 pontos) regra dos trapézios; 
b) (2 pontos) 1ª regra de Simpson. 
 
QUESTÃO 5) (4 ou 5 pontos) 
A regra do trapézio simples aplicada a ∫ 𝑓(𝑥)
2
0
𝑑𝑥 nos fornece o valor 4, enquanto a primeira regra simples 
de Simpson nos fornece o valor 2. Qual o valor de 𝑓(1)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
__________________FORMULÁRIO: 
 
Fórmula Interpolatória de Lagrange 
𝐿𝑛(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑘)
𝑛
𝑘=0 . 𝑃𝑘(𝑥), onde 𝑃𝑘(𝑥) =
∏ (𝑥−𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0,𝑗≠𝑘
∏ (𝑥𝑘−𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0,𝑗≠𝑘
. 
 
______________________________________________________________________________________________ 
 
 
Regra do Trapézio: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥𝑛
𝑥0
≅
ℎ
2
[𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)], sendo 
ℎ =
𝑥𝑛−𝑥0
𝑛
; 𝑛 = número de subintervalos 
|𝐸| ≤
ℎ
2
12
(𝑥𝑛 − 𝑥0) máx {|𝑓
(2)(𝑥)| ; 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑛} 
 
3
1 de Simpson ( 1ª Regra): 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥𝑛
𝑥0
≅
ℎ
3
[𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−2) + 4𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)], sendo 
ℎ =
𝑥𝑛−𝑥0
𝑛
; 𝑛 = múltiplo de 2. 
|𝐸| ≤
ℎ
4
180
(𝑥𝑛 − 𝑥0) máx {|𝑓
(4)(𝑥)| ; 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑛}.