Dadas as funções reais f e g definidas por f x x x( )= + −2 4 5 e g x x( )= −2 3 , obtenha as leis que definam fog e gof. Calcule ( )( )fog 2 e ( )( )gof 2 . Determine os valores do domínio da função fog que produzem imagem 16. Sejam as funções reais g x x( )= −2 3 e ( )( )fog x x x= − +2 4 12 , determine a lei de formação da função f . Dadas as funções f x x m( )= −3 e g x x( )= + 4 3 , determine m de modo que ( )( )f g x g f x= ∀ ∈ x, x .

Question

Dadas as funções reais f  e g definidas por f x x x( )= + −2 4 5  e g x x( )= −2 3  , obtenha as leis que definam fog e gof. Calcule ( )( )fog 2  e...

Ed · Answer

Para encontrar as leis que definem fog e gof, devemos primeiro calcular as composições de f e g.

fog(x) = f(g(x)) = f(-2x+3) = -(2(-2x+3))^2 + 4(-2x+3) + 5 = -16x^2 + 44x - 7

gof(x) = g(f(x)) = g(x^2 - 2x + 5) = -2(x^2 - 2x + 5)^3 + 3(x^2 - 2x + 5) = -2x^6 + 12x^5 - 31x^4 + 44x^3 - 33x^2 + 15x - 25

Para calcular fog(2), basta substituir x por 2 na expressão de fog(x):

fog(2) = -16(2)^2 + 44(2) - 7 = -45

Para calcular gof(2), basta substituir x por 2 na expressão de gof(x):

gof(2) = -2(2)^6 + 12(2)^5 - 31(2)^4 + 44(2)^3 - 33(2)^2 + 15(2) - 25 = -385

Para determinar os valores do domínio da função fog que produzem imagem 16, devemos resolver a equação:

-16x^2 + 44x - 7 = 16

-16x^2 + 44x - 23 = 0

Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:

x = (-44 ± sqrt(44^2 - 4(-16)(-23))) / (2(-16))

x = (-44 ± sqrt(2112)) / (-32)

x = (-44 ± 8sqrt(33)) / (-32)

x = (11/8) ± (sqrt(33)/8)

Portanto, os valores do domínio da função fog que produzem imagem 16 são (11/8) + (sqrt(33)/8) e (11/8) - (sqrt(33)/8).

Para determinar a lei de formação da função f, devemos igualar as expressões de fog(x) e (fog(x)):

fog(x) = -(2(-2x+3))^2 + 4(-2x+3) + 5 = -16x^2 + 44x - 7

(fog(x)) = -(2(-2x+3))^2 + 4(-2x+3) + 12 = -16x^2 + 44x + 5

Igualando as duas expressões, temos:

-16x^2 + 44x - 7 = -16x^2 + 44x + 5

-7 = 5

Isso é uma contradição, o que significa que não há uma lei de formação para a função f que satisfaça as condições dadas.

Para determinar m de modo que (fog(x)) = (gof(x)), devemos igualar as expressões de fog(x) e gof(x):

fog(x) = -16x^2 + 44x - 7

gof(x) = -2x^6 + 12x^5 - 31x^4 + 44x^3 - 33x^2 + 15x - 25

Igualando as duas expressões, temos:

-16x^2 + 44x - 7 = -2x^6 + 12x^5 - 31x^4 + 44x^3 - 33x^2 + 15x - 25

2x^6 - 12x^5 + 31x^4 - 44x^3 + 17x^2 - 8 = 0

Podemos fatorar essa equação:

(x-2)^2 (x-1)^2 x^2 = 0

As raízes são x = 0, x = 1 (com multiplicidade 2) e x = 2.

Para que (fog(x)) = (gof(x)), devemos ter:

-16x^2 + 44x - 7 = -2x^6 + 12x^5 - 31x^4 + 44x^3 - 33x^2 + 15x - 25 = m

Substituindo x = 1, temos:

-16(1)^2 + 44(1) - 7 = -2(1)^6 + 12(1)^5 - 31(1)^4 + 44(1)^3 - 33(1)^2 + 15(1) - 25 = m

m = 12

Portanto, m = 12.

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Demonstre usando o princípio da indução finita que:

( )n n 1 P(n) :1 2 3 4 n , n N * 2 + + + + + = Î
( )( )2 2 2 2 2 n n 1 2n 1 P(n) :1 2 3 4 n , n N * 6 + + + + + = Î

2. What is the purpose of the text above?

a) To present a sequence of Brazilian literary works from the colonial period.
b) To explain the concept of prime numbers.
c) To introduce the set of real numbers and its properties.
d) To provide examples of irrational numbers.
e) None of the above.

Conhecer e definir funções

Determinar o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem de uma função

Construir e interpretar gráficos das funções

Encontre o conjunto solução das inequações:
+ > +3 x 2 2 x 4
+ - + £ +5 ( x 3 ) 2 ( x 1 ) 2 x 3

Essa questão tem como solução = Î >S {x IR|x 4} e = Î £-S {x IR|x 10} respectivamente.

Resolva em IR a inequação - + £( 6x 1 ) ( 2 x 7 ) 0 .

O conjunto solução é dado por = Î - £ £ 7 1 S {x IR|x } 2 6.

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2. What is the purpose of the text above?a) To present a sequence of Brazilian literary works from the colonial period.b) To explain the concept of prime numbers.c) To introduce the set of real numbers and its properties.d) To provide examples of irrational numbers.e) None of the above.

Conhecer e definir funções

Determinar o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem de uma função

Construir e interpretar gráficos das funções

Encontre o conjunto solução das inequações:+ > +3 x 2 2 x 4+ - + £ +5 ( x 3 ) 2 ( x 1 ) 2 x 3Essa questão tem como solução = Î >S {x IR|x 4} e = Î £-S {x IR|x 10} respectivamente.

Resolva em IR a inequação - + £( 6x 1 ) ( 2 x 7 ) 0 .O conjunto solução é dado por = Î - £ £ 7 1 S {x IR|x } 2 6.

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a) To present a sequence of Brazilian literary works from the colonial period.
b) To explain the concept of prime numbers.
c) To introduce the set of real numbers and its properties.
d) To provide examples of irrational numbers.
e) None of the above.

Encontre o conjunto solução das inequações:
+ > +3 x 2 2 x 4
+ - + £ +5 ( x 3 ) 2 ( x 1 ) 2 x 3

Essa questão tem como solução = Î >S {x IR|x 4} e = Î £-S {x IR|x 10} respectivamente.

Resolva em IR a inequação - + £( 6x 1 ) ( 2 x 7 ) 0 .

O conjunto solução é dado por = Î - £ £ 7 1 S {x IR|x } 2 6.