PROVAS RESOLVIDAS & COMENTADAS Estatistica AFRF 2002 1 â¦

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Estatística – AFRF/2002-1 - por Alessandro Reis 
 
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PROVAS RESOLVIDAS & COMENTADAS 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA BÁSICA
 – AFRF/2002-1 
 Prova 1 - Comum a todas as áreas - Idioma Inglês (Aplicada em 06/04/2002 - Sábado)
 
 
 
 
 
 
 
 
Prova resolvida e comentada por: 
 
 
 
 
 
 ALESSANDRO REIS 
 
 
 
 
 
 
38- Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores 
de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes P% 
70-90 5 
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90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
As questões de 38 a 43 referem-se a esses ensaios. Assinale a opção que dá o valor médio 
amostral de X. 
 
a) 140,10 
b) 115,50 
c) 120,00 
d) 140,00 
e) 138,00 
 
 
Comentários 
 
Primeiramente p/ realizar os cálculos, usaremos o método simplificado de cálculo da média, pois se 
não usarmos o referido método, o cálculo ficará muito extenso. 
 
O 1° passo a fazermos é achar o ponto médio da 1° c lasse (poderia ser de qualquer classe, mas para 
facilitar usa-se o da 1° ): 
 
Ci = (70 + 90) / 2 = 80 
 
O 2° passo é diminuirmos de todos os pontos médios das classes o valor de 80. 
 
O 3° passo é dividir os valores encontrados acima p elo intervalo de classe que é 20. 
 
Então a variável transformada ficará da seguinte forma: 
 
Di = ( Xi – 80)/ 20 e após multiplicarmos pela freqüência absoluta simples de cada classe (cuidar que 
na prova foi dada a freqüência relativa acumulada) , a nova tabela ficará assim: 
 
Classes P (%) Fi absoluta Di = (Xi – 80 )/ 20 Di x Fi 
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A média da variável transformada será: 
Di médio = (n fi x Di) / n 
 
Di médio = 580 / 200 = 2,9 
 
Como último passo temos que voltar a variável original e para isso realizamos o cálculo inverso do 
que foi feito para a variável transformada (Di), ou seja temos que multiplicar 2,9 por 20 e somarmos 
80, assim achamos a média da variável original: 
 
Média = 2,9 * 20 + 80 = 138 , ou seja alternativa “E” 
 
======================================================================= 
 
 
39- Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. 
 
a) 138,00 
b) 140,00 
c) 136,67 
d) 139,01 
e) 140,66 
 
 
Comentários 
 
Na realidade esta questão pede o cálculo da mediana que corresponde ao 5° decil. 
 
Primeiramente temos que achar a classe que corresponde a mediana, ou seja que divide a série de 
dados ao meio e neste caso a classe onde se localiza a mediana é a 4° classe 
que vai de 130 a 150. Note que a classe que contém a mediana possui 60 elementos. Até a classe 
mediana já dispomos de 80 elementos, portanto faltam 20 elementos para completar 100 que é o 
elemento que divide a série ao meio. Assim, devemos encontrar, dentro da classe mediana, o exato 
valor do 20° elemento que falta. Para tanto, nos va leremos da seguinte regra de três: 
 
60 ------------ 20 
20 --------------X 
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X = (20 * 20) / 60 = 6,67 
 
Desta forma, a mediana será de 130 + 6,67 = 136,67, alternativa “ C “ 
 
 
======================================================================= 
 
 
40- Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de 
assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. 
 
a) 3/S 
b) 4/S 
c) 5/S 
d) 6/S 
e) 0 
 
 
Comentários 
 
A questão é resolvida através do conhecimento da definição do 1° coeficiente de Assimetria de 
Pearson que é a seguinte: 
 
Assimetria = (média – moda)/ Desvio Padrão 
 
Como a média já foi calculada e o desvio padrão é dado na questão, a questão resume-se 
a encontrar a moda através da seguinte expressão a qual é conhecida como Moda de Czuber: 
 
 
Mo = Lmo + C * (∆1 / ( ∆ 1 + ∆ 2)) , onde: 
 
 
Lmo = limite inferior da classe modal, que é o intervalo de classe onde se encontra o maior n° de 
elementos. 
 
C = amplitude do intervalo de da classe modal. 
 
∆ 1 = diferença entre as freqüências simples da classe modal e anterior à modal. 
 
∆ 2 = diferença entre as freqüências simples da classe modal e posterior à modal. 
 
Lmo = a classe onde se encontra o maior n° de elementos é a 4° classe e o seu limite inferior é 130. 
 
C = 20, que é intervalo de classe. 
 
∆ 1 = 60 – 50 = 10 
 
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∆ 2 = 60 – 30 = 30, temos então como valor da moda: 
 
Mo = 130 + 20 * (10 / (10 + 30) ) = 135 , portanto o 1° coeficiente de assimetria de Pearson é: 
 
Assimetria = (138 – 135) / S = 3/S , Alternativa “ A “ 
 
 
 
======================================================================= 
 
 
41- Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de 
X menores ou iguais a 145. 
 
a) 62,5% 
b) 70,0% 
c) 50,0% 
d) 45,0% 
e) 53,4% 
 
 
Comentários 
 
Analisando a tabela de distribuição de freqüências estimamos que seja um valor próximo a 70 % , 
pois a freqüência relativa acumulada dos elementos menores ou iguais a 145 está na 4° classe. Para 
calcularmos este valor utilizaremos o mesmo processo de cálculo da mediana. 
 
Como em 20 elementos temos 30%, e no valor de 130 elementos temos 40 % de freqüência relativa 
acumulada, precisamos encontrar a freqüência relativa acumulada dos 15 elementos que superam o 
valor de 130. 
 
30 % ------------ 20 
X %----------------15 
 
 
X = (30% * 15) / 20 = 22,5 % 
 
Desta forma, a freqüência relativa acumulada será de 40 % + 22,5% = 62,5%, e a alternativa 
correta é a A “. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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42- Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se 
, onde fi é a freqüência simples da classe i e zi o ponto médio de classe 
transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X. 
 
a) 720,00 
b) 840,20 
c) 900,10 
d) 1200,15 
e) 560,30 
 
 
Comentários 
 
A questão resolve-se pela aplicação das propriedades da variância, pois no atributo X foi feita uma 
transformação para o atributo Z, assim como foi feito para se calcular a média da questão 38. 
 
A variância nos é dada pela seguinte expressão: 
 
S² = (n zi2 * fi) / n = 1680 / 200 = 8,4 
 
Esta é variância da variável transformada Z, temos que achar agora a variância da variável X através 
da aplicação das propriedades da variância que são: 
 
1°) Somando-se ou subtraindo-se a cada elemento de um conjunto de valores uma constante, a 
variância não se altera. 
 
2°) Multiplicando-se ou dividindo-se cada elemento de um conjunto de valores por um valor 
constante, arbitrário e diferente de zero, a variância fica multiplicada ou divida pelo quadrado da 
constante. 
 
Como a subtração não altera o valor da variância , o fato de se ter subtraído 140 da variável X, não 
alterará a variância de X. Já a divisão pelo valor de 10, alterará o valor da 
variância deX que ficará multiplicada pelo quadrado de 10, assim: 
 
S² = 8,4 *10² = 840 , a Alternativa que mais se aproxima do valor é a alternativa “B”, penso que a 
questão deveria ser anulada, pois o valor exato é 840 e não 840,20 como foi 
dado como resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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43- Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido 
em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo quociente < 
onde é a metade da distância interquartílica e P90e P10 representam os percentis de 90% e 
10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose K para a distribuição de 
X. 
 
a) 0,263 
b) 0,250 
c) 0,300 
d) 0,242 
e) 0,000 
 
 
Comentários 
 
Como Q corresponde a (Q3 – Q1) / 2 
 
Q3 = Divide a série nos valores 75% inferiores a ele 
Q1 = Divide a série nos valores 25 % inferiores a ele 
P90 = Divide a série nos valores 90 % inferiores a ele 
P10 = Divide a série nos valores 10 % inferiores a ele 
 
É o mesmo processo de cálculo utilizado para a mediana. 
 
Para Q3 temos: 
 
X ---------- 5 % 
20 ----------15 % 
 
 
X = 20 * 5% / 15% = 6,67 
 
Q3 = 150 + 6,67 = 156,67 
 
Para Q1 temos: 
 
X ----------- 10 % 
20 ---------- 25% 
 
X = 20 * 10% / 25% = 8 
 
Q1 = 110 + 8 = 118 
 
 
 
 
 
Para P90 temos: 
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 8
 
X ----------- 5% 
20 ----------10% 
 
X = 20 * 5% / 10% = 10 
 
P90 = 170 + 10 = 180 
 
Para P10 temos: 
 
X ------------ 5% 
20 ---------- 10% 
 
X = 20 * 5% / 10% = 10 
 
P10 = 90 + 10 = 100 
 
Agora calcula-se o valor de K: 
 
K = ((156,67 - 118)/2) / (180 - 100) 
 
K = 0,242 , ou seja Alternativa “ D “ 
 
 
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44- Um atributo W tem média amostral a≠0.e desvio padrão positivo b≠1. Considere a 
transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta. 
 
a) A média amostral de Z coincide com a de W. 
b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário. 
c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido. 
d) A média de Z é a/b. 
e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem. 
 
 
Comentários 
 
Esta questão refere-se a aplicação das propriedades da média e desvio padrão, as quais são: 
 
1°) Se somarmos ou subtrairmos um valor constante d e uma série de valores, a sua média ficará 
somada ou subtraída deste valor; 
2°) Se multiplicarmos ou dividirmos um valor consta nte de uma série de valores, a sua média ficará 
multiplicada ou dividida por este valor; 
3°) Se somarmos ou subtrairmos um valor constante d e uma série de valores, o desvio padrão não se 
altera; 
 
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4°) Se multiplicarmos ou dividirmos um valor consta nte de uma série de valores, o seu desvio padrão 
ficará multiplicado ou dividido por este valor; 
 
Vamos analisar as alternativas: 
 
a) Falsa, pois com essa transformação de variável a média de Z será alterada pela subtração do valor 
a e dividida pelo valor b, somente em um caso a média de Z será igual a média de W, quando a for 
igual a 0 e b igual a 1; 
 
b) Falsa, pois o coeficiente de variação amostral de Z nos é dado pela divisão do desvio padrão de Z 
pela sua média, como não são conhecidos estes valores, nada podemos afirmar; 
 
c) Correta, pois como afirmamos na alternativa anterior, nada podemos afirmar sobre este 
valor, pois a média e o desvio padrão de Z não foram dados. 
 
d) Falsa, pois a média de Z será o (n fi x wi) / n e não a/b. 
 
e) Falsa, pois, pela aplicação da propriedade do desvio padrão, se multiplicarmos ou dividirmos uma 
série de valores por uma constante, o valor do desvio padrão ficará dividido ou multiplicado por este 
valor. Como o atributo W foi dividido pelo valor de b, o desvio padrão de W e Z não coincidem, só há 
um caso em que o desvio padrão de W e Z coincidem, quando o valor de b for igual a 1, mas no 
comando da questão afirma-se que b ≠ 1. 
 
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45- A inflação de uma economia, em um período de tempo t, medida por um índice geral de 
preços, foi de 30%. Assinale a opção que dá a desvalorização da moeda dessa economia no 
mesmo período. 
 
a) 30,00% 
b) 23,08% 
c) 40,10% 
d) 35,30% 
e) 25,00% 
 
Comentários 
 
A tentação de marcar a alternativa A é grande, mas pelo entendimento sobre desvalorização, já nos 
leva a descartá-la, pois a desvalorização sempre é um valor menor que o índice de inflação, com 
esse conhecimento eliminamos as alternativas A, C e D. 
 
 
O cálculo é simples, vamos imaginar que um produto que custava R$ 100,00 tenha aumentado em 
30%, ou seja passou a custar R$ 130,00, desejamos conhecer então o índice de desvalorização da 
moeda nesse período ( ou mais propriamente do salário que não sofreu reajuste nesse período): 
 
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ID = (Valor atual – Valor anterior) / Valor Atual 
 
ID = ( R$ 130,00 – R$ 100,00) / R$ 130,00 
 
ID = 23,08 % , portanto Alternativa “ B “ 
 
 
 
============================= F I M ====================================