QUESTÃO 4) (5 pontos) Aplicando-se o processo de Cholesky à matriz ????, obteve-se: ???? = [ ⋯ 2 ⋯ ⋯ ⋯ 8 10 − 8 3 10 14 − 5 ⋯ − 8 ⋯ 29 ] = ???????????? onde ???? = [ 1 2 ⋯ ???? ⋯ 2 1 0 − 4 ⋯ 2 ]. Preencha os espaços pontilhados com valores adequados.

Question

QUESTÃO 4) (5 pontos) Aplicando-se o processo de Cholesky à matriz ????, obteve-se: ???? = [ ⋯ 2 ⋯ ⋯ ⋯ 8 10 − 8 3 10 14 − 5 ⋯ − 8  ⋯  29 ] = ???????????? ond...

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Para resolver essa questão, precisamos aplicar o processo de Cholesky na matriz dada. O processo de Cholesky é um método para fatorar matrizes simétricas definidas positivas em um produto de uma matriz triangular inferior e sua transposta.

Para encontrar a matriz triangular inferior, precisamos seguir os seguintes passos:

1. Encontrar o primeiro elemento da matriz triangular inferior L11, que é a raiz quadrada do primeiro elemento da matriz original A11.

L11 = sqrt(2) = 1.414

2. Encontrar os elementos da primeira coluna da matriz triangular inferior L21, L31 e L41, que são os elementos da primeira coluna da matriz original A, divididos pelo primeiro elemento da matriz triangular inferior L11.

L21 = 8/1.414 = 5.657
L31 = 10/1.414 = 7.071
L41 = -8/1.414 = -5.657

3. Encontrar o segundo elemento da matriz triangular inferior L22, que é a raiz quadrada do segundo elemento da matriz original A22 menos o quadrado do primeiro elemento da matriz triangular inferior L21.

L22 = sqrt(14 - 5.657^2) = 3.606

4. Encontrar os elementos da segunda coluna da matriz triangular inferior L32 e L42, que são os elementos da segunda coluna da matriz original A menos o produto dos elementos correspondentes da primeira coluna da matriz triangular inferior L21, L31 e L41, divididos pelo segundo elemento da matriz triangular inferior L22.

L32 = (10 - 5.657*7.071)/3.606 = -0.707
L42 = (29 + 5.657*5.657 - 7.071*(-0.707))/3.606 = 4.899

5. Encontrar o terceiro elemento da matriz triangular inferior L33, que é a raiz quadrada do terceiro elemento da matriz original A33 menos o quadrado dos elementos correspondentes da primeira e segunda colunas da matriz triangular inferior L31 e L32.

L33 = sqrt(14 - 7.071^2 - (-0.707)^2) = 3.606

6. Encontrar o elemento da terceira coluna da matriz triangular inferior L43, que é o elemento da terceira coluna da matriz original A menos o produto dos elementos correspondentes da primeira e segunda colunas da matriz triangular inferior L31 e L32, dividido pelo terceiro elemento da matriz triangular inferior L33.

L43 = (14 - 5.657*(-0.707) - 3.606*4.899)/3.606 = -1.414

7. Encontrar o quarto elemento da matriz triangular inferior L44, que é a raiz quadrada do quarto elemento da matriz original A44 menos o quadrado dos elementos correspondentes da primeira, segunda e terceira colunas da matriz triangular inferior L41, L42 e L43.

L44 = sqrt(29 - 5.657^2 - 4.899^2 - (-5.657)^2) = 2

Portanto, a matriz triangular inferior L é:

L = [ 1.414 0 0 0 ; 5.657 3.606 0 0 ; 0.707 -0.707 3.606 0 ; -5.657 4.899 -1.414 2 ]

E a matriz transposta de L é:

LT = [ 1.414 5.657 0 -5.657 ; 0 3.606 -0.707 4.899 ; 0 0 3.606 -1.414 ; 0 0 0 2 ]

Portanto, a matriz original A é:

A = L * LT = [ 2 8 10 -8 ; 8 14 -5 3 ; 10 -5 14 -0.707 ; -8 3 -0.707 29 ]

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PRIMEIRA AVALIACAO CALCULO NUMERICO

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