6. Obtenha a decomposição de Cholesky para as matrizes A e B abaixo e determine o determinante de cada uma a partir dos elementos da diagonal da re...

Para obter a decomposição de Cholesky, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Verificar se a matriz é simétrica e definida positiva. 2. Calcular os elementos da matriz L. Para a matriz A: 1. Verificar se a matriz é simétrica e definida positiva: A é simétrica, pois A = A^T. Para verificar se é definida positiva, precisamos verificar se todos os menores principais são positivos. Os menores principais são: a11 = 4 > 0 a22 = 5 > 0 a33 = 42 > 0 a44 = 46 - 18^2/42 = 46 - 9 = 37 > 0 Portanto, A é definida positiva. 2. Calcular os elementos da matriz L: L é uma matriz triangular inferior com elementos Lij. Os elementos da diagonal principal são Lii. Para calcular os elementos de L, usamos a seguinte fórmula: Lii = sqrt(aii - ∑(k=1)^(i-1) Lik^2) Lij = (aij - ∑(k=1)^(j-1) Lik*Ljk)/Ljj Os elementos da diagonal principal de L são: L11 = sqrt(4) = 2.000 L22 = sqrt(5 - (-4)^2/4) = 3.000 L33 = sqrt(42 - (-7)^2/5 - 2^2/5) = 5.000 L44 = sqrt(46 - (-10)^2/5 - 18^2/42 - 8^2/42) = 3.000 Os demais elementos de L são: L21 = -4/2.000 = -2.000 L31 = 2/2.000 = 1.000 L32 = (-7 - (-2.000)*(-2.000))/3.000 = -1.333 L41 = 8/2.000 = 4.000 L42 = (-10 - (-2.000)*(-1.333))/3.000 = -2.111 L43 = (18 - 4.000*(-1.333) - (-2.111)*(-1.333))/5.000 = 1.000 Portanto, a decomposição de Cholesky de A é: A = LL^T, onde L =

2.000 0 0 0
-2.000 3.000 0 0
1.000 -1.333 5.000 0
4.000 -2.111 1.000 3.000
 O determinante de A é o produto dos elementos da diagonal principal de L elevados ao quadrado: det(A) = L11^2 * L22^2 * L33^2 * L44^2 = 2.000 * 3.000 * 5.000 * 3.000 = 270.000.000 Para a matriz B: 1. Verificar se a matriz é simétrica e definida positiva: B é simétrica, pois B = B^T. Para verificar se é definida positiva, precisamos verificar se todos os menores principais são positivos. Os menores principais são: b11 = 4 > 0 b22 = 9 - (2/4)^2 = 8.75 > 0 b33 = 37 - (1/4)^2*8.75 - (12/4)^2 = 28.3125 > 0 b44 = 98 - (1/4)^2*28.3125 - (16/8.75)^2*8.75 - (-43/8.75)^2 = 23.000 > 0 Portanto, B é definida positiva. 2. Calcular os elementos da matriz L: L é uma matriz triangular inferior com elementos Lij. Os elementos da diagonal principal são Lii. Para calcular os elementos de L, usamos a mesma fórmula que usamos para a matriz A. Os elementos da diagonal principal de L são: L11 = sqrt(4) = 2.000 L22 = sqrt(8.75) = 2.958 L33 = sqrt(28.3125 - (1/2.958)^2*2 - (12/2.958)^2) = 4.000 L44 = sqrt(23.000 - (1/2.958)^2*8.3125 - (16/2.958)^2*8.75 - (-43/2.958)^2) = 3.000 Os demais elementos de L são: L21 = 2/2.000 = 1.000 L31 = 1/2.000 = 0.500 L32 = (12 - 1.000*2)/2.958 = 3.000 L41 = 1/2.000 = 0.500 L42 = (-16 - 1.000*0.500)/2.958 = -5.000 L43 = (-43 - 3.000*0.500 + 5.000*3.000)/4.000 = -3.000 Portanto, a decomposição de Cholesky de B é: B = LL^T, onde L =

2.000 0 0 0
1.000 2.958 0 0
0.500 3.000 4.000 0
0.500 -5.000 -3.000 3.000
 O determinante de B é o produto dos elementos da diagonal principal de L elevados ao quadrado: det(B) = L11^2 * L22^2 * L33^2 * L44^2 = 2.000 * 2.958 * 4.000 * 3.000 = 71.424.000