Sejam A, B, e C conjuntos finitos quaisquer e f : A → B e g : B → C funções totais quaisquer. Denotamos por g ◦ f : A → C a função composta (g ◦ f)...

(a) Para demonstrar que g ◦ f é injetiva, precisamos mostrar que se (g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(y), então x = y. Seja (g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(y), então g(f(x)) = g(f(y)). Como g é injetiva, temos que f(x) = f(y). E como f é injetiva, temos que x = y. Portanto, g ◦ f é injetiva. (b) Para demonstrar que g ◦ f é sobrejetiva, precisamos mostrar que para todo c em C, existe um a em A tal que (g ◦ f)(a) = c. Como f é sobrejetiva, para todo b em B, existe um a em A tal que f(a) = b. E como g é sobrejetiva, para todo c em C, existe um b em B tal que g(b) = c. Então, para todo c em C, existe um a em A tal que (g ◦ f)(a) = g(f(a)) = g(b) = c. Portanto, g ◦ f é sobrejetiva. (c) Para demonstrar que g ◦ f é bijetiva, precisamos mostrar que g ◦ f é injetiva e sobrejetiva. Como f e g são bijetivas, sabemos que f é injetiva e sobrejetiva, e que g é injetiva e sobrejetiva. Então, pela demonstração acima, g ◦ f é injetiva e sobrejetiva. Portanto, g ◦ f é bijetiva.