Demonstre as seguintes asserções por indução: (a) ∑n i=0 i2 = n(n+1)(2n+1)/6. (b) ∑n i=0 i3 = n2(n+1)2/4. (c) n3 + 2n é divisível por 3 para todo o...

(a) Vamos provar que a fórmula é verdadeira para n = 0. Quando n = 0, temos que ∑n i=0 i2 = 0, e n(n+1)(2n+1)/6 = 0. Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 0. Agora, vamos supor que a fórmula é verdadeira para um certo valor de n = k. Ou seja, ∑k i=0 i2 = k(k+1)(2k+1)/6. Vamos provar que a fórmula também é verdadeira para n = k + 1. Ou seja, precisamos mostrar que ∑k+1 i=0 i2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6. Podemos escrever ∑k+1 i=0 i2 como ∑k i=0 i2 + (k+1)2. Substituindo a fórmula para n = k na primeira parte, temos ∑k i=0 i2 = k(k+1)(2k+1)/6. Adicionando (k+1)2, temos ∑k+1 i=0 i2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)2. Fazendo algumas manipulações algébricas, chegamos a ∑k+1 i=0 i2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6. Portanto, a fórmula é verdadeira para todo n ∈ N. (b) Vamos provar que a fórmula é verdadeira para n = 0. Quando n = 0, temos que ∑n i=0 i3 = 0, e n2(n+1)2/4 = 0. Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 0. Agora, vamos supor que a fórmula é verdadeira para um certo valor de n = k. Ou seja, ∑k i=0 i3 = k2(k+1)2/4. Vamos provar que a fórmula também é verdadeira para n = k + 1. Ou seja, precisamos mostrar que ∑k+1 i=0 i3 = (k+1)2(k+2)2/4. Podemos escrever ∑k+1 i=0 i3 como ∑k i=0 i3 + (k+1)3. Substituindo a fórmula para n = k na primeira parte, temos ∑k i=0 i3 = k2(k+1)2/4. Adicionando (k+1)3, temos ∑k+1 i=0 i3 = k2(k+1)2/4 + (k+1)3. Fazendo algumas manipulações algébricas, chegamos a ∑k+1 i=0 i3 = (k+1)2(k+2)2/4. Portanto, a fórmula é verdadeira para todo n ∈ N. (c) Vamos provar que a afirmação é verdadeira para n = 1. Quando n = 1, temos que n3 + 2n = 3, que é divisível por 3. Portanto, a afirmação é verdadeira para n = 1. Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para um certo valor de n = k. Ou seja, n3 + 2n é divisível por 3 para todo o k ∈ N. Vamos provar que a afirmação também é verdadeira para n = k + 1. Ou seja, precisamos mostrar que (k+1)3 + 2(k+1) é divisível por 3. Fazendo algumas manipulações algébricas, temos (k+1)3 + 2(k+1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 2k + 2 = (k3 + 2k) + 3(k2 + k + 1). Pela hipótese de indução, sabemos que k3 + 2k é divisível por 3. Portanto, precisamos mostrar que k2 + k + 1 é divisível por 3. Podemos escrever k2 + k + 1 como (k+1)(k+2)/2 + 1. Como k+1 e k+2 são dois números consecutivos, um deles é divisível por 2. Portanto, (k+1)(k+2)/2 é um número inteiro. Além disso, um dos três números consecutivos k, k+1 e k+2 é divisível por 3. Portanto, (k+1)(k+2)/2 + 1 é divisível por 3. Concluímos que (k+1)3 + 2(k+1) é divisível por 3. Portanto, a afirmação é verdadeira para todo n ∈ N. (d) Vamos provar que a afirmação é verdadeira para n = 1. Quando n = 1, temos que 9n - 1 = 8, que é divisível por 8. Portanto, a afirmação é verdadeira para n = 1. Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para um certo valor de n = k. Ou seja, 9k - 1 é divisível por 8 para todo o k ∈ N+. Vamos provar que a afirmação também é verdadeira para n = k + 1. Ou seja, precisamos mostrar que 9(k+1) - 1 é divisível por 8. Fazendo algumas manipulações algébricas, temos 9(k+1) - 1 = 9k + 8. Pela hipótese de indução, sabemos que 9k - 1 é divisível por 8. Portanto, 9k + 8 é divisível por 8. Concluímos que 9(k+1) - 1 é divisível por 8. Portanto, a afirmação é verdadeira para todo n ∈ N+. (e) Vamos provar que a afirmação é verdadeira para n = 1. Quando n = 1, temos que 2n+1 = 3 e n2 = 1, e 3 > 1. Portanto, a afirmação é verdadeira para n = 1. Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para um certo valor de n = k. Ou seja, 2k+1 > k2. Vamos provar que a afirmação também é verdadeira para n = k + 1. Ou seja, precisamos mostrar que 2(k+1)+1 > (k+1)2. Fazendo algumas manipulações algébricas, temos 2(k+1)+1 = 2k+3 = 2k+1+2 > k2+2 > (k+1)2. Portanto, a afirmação é verdadeira para todo n ∈ N+.