Classificar os seguintes subconjuntos do R3 em LI ou LD:

Para classificar os subconjuntos do R3 em LI (linearmente independentes) ou LD (linearmente dependentes), é necessário verificar se existe uma combinação linear entre os vetores que resulte no vetor nulo (0, 0, 0). Se a única solução para a combinação linear for a solução trivial (todos os coeficientes iguais a zero), então o conjunto é LI. Caso contrário, o conjunto é LD. Por exemplo, considere o subconjunto { (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9) } do R3. Para verificar se é LI ou LD, podemos montar a seguinte equação: a(1, 2, 3) + b(4, 5, 6) + c(7, 8, 9) = (0, 0, 0) Isso resulta no sistema de equações: a + 4b + 7c = 0 2a + 5b + 8c = 0 3a + 6b + 9c = 0 Podemos simplificar esse sistema dividindo a segunda equação por 2 e a terceira equação por 3: a + 4b + 7c = 0 a + 2.5b + 4c = 0 a + 2b + 3c = 0 Subtraindo a primeira equação das outras duas, obtemos: -3b - 3c = 0 -2.5b - 3c = 0 Podemos simplificar ainda mais dividindo a primeira equação por -3: b + c = 0 Isso significa que podemos escolher um valor para b (por exemplo, b = 1) e encontrar o valor correspondente para c (c = -1). Então, podemos substituir esses valores na primeira equação e encontrar o valor correspondente para a: a + 4(1) + 7(-1) = 0 a = -3 Portanto, a solução para a combinação linear é: -3(1, 2, 3) + 1(4, 5, 6) - 1(7, 8, 9) = (0, 0, 0) Como a solução não é trivial, ou seja, existem coeficientes diferentes de zero que resultam no vetor nulo, concluímos que o conjunto { (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9) } é LD.