13 (ESAF/AFTN/98) - O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é: c) Para ...

Para que a expressão trigonométrica represente uma identidade, ela deve ser verdadeira para qualquer valor de x. Expandindo a expressão (cosx + senx)² + ysenxcosx - 1, temos: cos²x + 2cosxsenx + sen²x + ysenxcosx - 1 Simplificando: 2cosxsenx + ysenxcosx = -cos²x - sen²x + 1 2senxcosx(1 + y) = 1 - cos²x 2senxcosx(1 + y) = sen²x Dividindo ambos os lados por cos²x: 2tanx(1 + y) = tan²x 2(1 + y) = sec²x 2 + 2y = 1/cos²x 2y = 1/cos²x - 2 Substituindo cos²x por 1 - sen²x: 2y = 1/(1 - sen²x) - 2 2y = (1 + sen²x)/(1 - sen²x) - (2(1 - sen²x))/(1 - sen²x) 2y = (1 + sen²x - 2 + 2sen²x)/(1 - sen²x) 2y = (3sen²x - 1)/(1 - sen²x) Para que essa expressão seja uma identidade, ela deve ser verdadeira para qualquer valor de x. Portanto, a expressão só será uma identidade se o numerador for igual a zero para qualquer valor de x. 3sen²x - 1 = 0 sen²x = 1/3 senx = ±√(1/3) Como senx não pode ser maior que 1 ou menor que -1, temos: senx = √(1/3) cosx = ±√(2/3) Substituindo esses valores na expressão para y: 2y = (3(1/3) - 1)/(1 - 1/3) 2y = 1/2 y = 1/4 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 1.