Questão 2. Usando o teste da segunda derivada, classifique os pontos críticos das funções a seguir como pontos de mínimo local ou ponto de máximo l...

a) Para classificar os pontos críticos de f(x) = x(arccos(x)− π/2)− √1− x2 no intervalo [−1, 1], precisamos encontrar a segunda derivada da função. f(x) = x(arccos(x)− π/2)− √1− x2 f'(x) = arccos(x)− π/2− x/√1− x2 f''(x) = −1/(1− x2)^(3/2) Agora, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde f'(x) = 0 ou onde f'(x) é indefinido. f'(x) = arccos(x)− π/2− x/√1− x2 = 0 arccos(x)− π/2 = x/√1− x2 cos(arccos(x)− π/2) = cos(x/√1− x2) −sin(arccos(x)) = cos(x/√1− x2) −√1− x2 = cos(x/√1− x2) 1− x2 = cos^2(x/√1− x2) 1− x2 = 1− sin^2(x/√1− x2) x2 = sin^2(x/√1− x2) x = ±sin(x/√1− x2) Agora, precisamos verificar se esses pontos são pontos de mínimo local ou ponto de máximo local. Para isso, precisamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos. f''(x) = −1/(1− x2)^(3/2) f''(−1) = −1/0 = indefinido f''(0) = −1 < 0, ponto de máximo local f''(1) = −1/0 = indefinido Portanto, o ponto crítico x = 0 é um ponto de máximo local. b) Para classificar os pontos críticos de f(x) = x/√(x2 + 1), precisamos encontrar a segunda derivada da função. f(x) = x/√(x2 + 1) f'(x) = √(x2 + 1)− x^2/√(x2 + 1)^3 f''(x) = (3x^2 − 1)/(x2 + 1)^(5/2) Agora, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde f'(x) = 0 ou onde f'(x) é indefinido. f'(x) = √(x2 + 1)− x^2/√(x2 + 1)^3 = 0 x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 x^4 + x^2 = 0 x^2(x^2 + 1) = 0 x = 0 ou x = ±i Agora, precisamos verificar se esses pontos são pontos de mínimo local ou ponto de máximo local. Para isso, precisamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos. f''(0) = −1 < 0, ponto de máximo local f''(i) = 2i/2^(5/2) > 0, ponto de mínimo local f''(−i) = −2i/2^(5/2) < 0, ponto de máximo local Portanto, o ponto crítico x = 0 é um ponto de máximo local e os pontos críticos x = ±i são pontos de mínimo local.