EXEMPLO 7. Sejam f1, f2, …, fn, n ≥ 2, funções deriváveis em p. Prove, por indução finita, que f1 + f2 + … + fn é derivável em p e que

Para provar que a soma de n funções deriváveis em p é derivável em p, podemos usar indução finita. Base: Para n = 2, temos que f1 e f2 são deriváveis em p. Portanto, a soma f1 + f2 é derivável em p. Hipótese: Suponha que a soma de k funções deriváveis em p é derivável em p, ou seja, f1 + f2 + ... + fk é derivável em p. Passo da indução: Vamos provar que a soma de k + 1 funções deriváveis em p é derivável em p. Considere a soma f1 + f2 + ... + fk + fk+1. Pela hipótese de indução, a soma f1 + f2 + ... + fk é derivável em p. Além disso, como fk+1 é derivável em p, podemos aplicar a regra da soma de derivadas para concluir que a soma f1 + f2 + ... + fk + fk+1 é derivável em p. Portanto, por indução finita, concluímos que a soma de n funções deriváveis em p é derivável em p.