EXEMPLO 3. Seja f derivável até a 3.ª ordem no intervalo aberto I e seja p ∈ I. Suponha que f″ (p) = 0, f′″ (p) ≠ 0 e que f′″ seja contínua em p. P...

Para provar que p é um ponto de inflexão, precisamos mostrar que a concavidade de f muda em p. Como f″ (p) = 0, não podemos concluir nada sobre a concavidade de f em p. No entanto, como f′″ (p) ≠ 0 e f′″ é contínua em p, podemos concluir que f′″ muda de sinal em p. Suponha, sem perda de generalidade, que f′″ (p) > 0. Então, pela regra de L'Hôpital, temos: f′(x) = f′(p) + f′′(p)(x - p) + f′′′(c)(x - p)²/2 para algum c entre p e x. Como f′′′(c) > 0 para x próximo de p, temos que f′(x) > f′(p) para x suficientemente próximo de p à direita, e f′(x) < f′(p) para x suficientemente próximo de p à esquerda. Portanto, a reta tangente a f em p está acima de f à esquerda de p e abaixo de f à direita de p, o que implica que p é um ponto de inflexão.