Determine o ponto da parábola y = x2 que se encontra mais próximo da reta y = x - 2.

Para determinar o ponto da parábola y = x² que se encontra mais próximo da reta y = x - 2, podemos utilizar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. Primeiramente, podemos reescrever a equação da reta como x - y + 2 = 0. Em seguida, podemos utilizar a fórmula da distância: d = |ax0 + by0 + c| / √(a² + b²) Onde (x0, y0) é o ponto da parábola que queremos encontrar, a, b e c são os coeficientes da equação da reta. Substituindo os valores, temos: d = |x0 - y0 + 2| / √2 Agora, podemos substituir y0 por x0² na equação da parábola: d = |x0 - x0² + 2| / √2 Para encontrar o ponto que minimiza a distância, podemos derivar a equação em relação a x0 e igualar a zero: d' = (1 - 2x0) / √2 * |x0 - x0² + 2| - (x0 - x0² + 2) / (2√2 * |x0 - x0² + 2|²) * (1 - 2x0) = 0 Simplificando, temos: (1 - 2x0)² = 2(x0 - x0² + 2)² Resolvendo a equação, encontramos duas soluções: x0 = 1 ± √2. Substituindo na equação da parábola, encontramos os pontos correspondentes: (1 + √2, 3 + 2√2) e (1 - √2, 3 - 2√2) Agora, podemos calcular a distância entre esses pontos e a reta para determinar qual é o ponto mais próximo. A distância do ponto (1 + √2, 3 + 2√2) é menor, portanto, esse é o ponto da parábola que se encontra mais próximo da reta y = x - 2.