Determinar o ponto da parábola y=x^2 mais próximo de (14,1)

Question

Mandem a resolução por favor!

Rodrigo Baltuilhe dos Santos · Answer

Boa noite. 
O ponto mais próximo é o que minimiza a equação :
d²=(x-x0)²+(y-y0)²
O ponto (x0,y0) conhecido é o ponto dado (14,1).
Como não faz diferença minimizar d² ou d, para simplificar a derivada iremos encontrar o mínimo para d².
Sabendo-se que y=x², temos:
F(x)=(x-14)²+(y-1)²
F(x)=x²-28x+196+(x²-1)²
F(x)=x²-28x+196+x⁴-2x²+1
F(x)=x⁴-x²-28x+197
Derivando:
F'(x)=4x³-2x-28
Esta equação possui uma raiz real, 2.
Vejamos se é ponto de máximo ou mínimo. 
Derivando novamente :
F"(x) =12x²-2
Substituindo 2 nesta última equação obtemos:
F"(2)=12(2)²-2=46, positivo, ponto de mínimo. 
Então, substituindo na equação da parábola, o ponto mais próximo será onde x = 2, y=2²=4,portanto, ponto (2,4).
Espero ter ajudado.

RD Resoluções · Answer

Para encontrarmos o ponto mais próximo, realizaremos os cálculos abaixo:

$\begin{align} & d{}^\text{2}={{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}} \ & \ & y={{x}^{2}} \ & y={{(x-14)}^{2}}+{{({{x}^{2}}-1)}^{2}} \ & y={{x}^{2}}-28x+196+{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1 \ & y'=2x-28-4x-4{{x}^{3}} \ & y''=12{{x}^{2}}-2 \ & y''(2)=12(4)-2 \ & y''=46 \ & f(46)=2 \ & y={{x}^{2}} \ & y=4 \ & P=(2,4) \ \end{align}\ $

Portanto, o ponto será $\boxed{P\left( {2,4} \right)}$.

Vitor Gomes · Answer

ajudou muito! obrigado :)

Determinar o ponto da parábola y=x^2 mais próximo de (14,1)

Cálculo II

FEI

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