Conclua de (b) que existe uma outra constante B tal que f (x) = A e−x + B ex, para todo x. Sejam f e g duas funções definidas e deriváveis em ℝ. Su...

A partir da equação f(x) = Ae^(-x) + Be^(x), podemos derivar ambos os lados em relação a x para obter f'(x) = -Ae^(-x) + Be^(x). Como f'(x) = g(x) e g'(x) = -f(x), podemos substituir na equação anterior para obter g(x) = -Ae^(-x) + Be^(x). Agora, podemos usar as condições iniciais f(0) = 0 e g(0) = 1 para encontrar os valores de A e B. Substituindo x = 0 na equação f(x) = Ae^(-x) + Be^(x), obtemos 0 = A + B, o que implica que B = -A. Substituindo x = 0 na equação g(x) = -Ae^(-x) + Be^(x), obtemos 1 = -A + B, o que implica que A = 1/2 e B = -1/2. Agora, podemos usar a equação f(x) = (1/2)e^(-x) - (1/2)e^(x) e g(x) = -(1/2)e^(-x) - (1/2)e^(x) para mostrar que (f(x) - sen(x))^2 + (g(x) - cos(x))^2 = 0 para todo x. Para concluir que f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x), podemos usar a identidade trigonométrica sen^2(x) + cos^2(x) = 1 e a equação anterior para mostrar que f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x). Usando o Exercício 1, podemos encontrar a única função y = y(x) que satisfaz as condições dadas, que é y(x) = (1/2)sen(x) - (1/2)cos(x).