Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do círculo x2 + y2 ≤ 1 em torno da reta x + y = 2.

Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação do círculo x² + y² ≤ 1 em torno da reta x + y = 2, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas cilíndricas. Método dos discos: - Primeiro, devemos encontrar a função que representa a distância entre a reta x + y = 2 e o ponto (x, y) do círculo. Essa função é dada por d(x) = 2 - x. - Em seguida, devemos integrar a área dos discos formados pela rotação do círculo em torno da reta. A área de cada disco é dada por A(x) = πr², onde r é o raio do disco. O raio do disco é dado por r = d(x) = 2 - x. - Portanto, o volume do sólido é dado por V = ∫[0,2] A(x) dx = ∫[0,2] π(2-x)² dx = π∫[0,2] (4-4x+x²) dx = π[x³/3 - 2x² + 4x] de 0 a 2 = (16/3)π. Método das cascas cilíndricas: - Nesse método, devemos integrar o volume das cascas cilíndricas formadas pela rotação do círculo em torno da reta. O volume de cada casca é dado por V(x) = 2πrhΔx, onde r é o raio da casca, h é a altura da casca e Δx é a espessura da casca. - O raio da casca é dado por r = x, a altura da casca é dada por h = d(x) = 2 - x e a espessura da casca é dada por Δx = dx. - Portanto, o volume do sólido é dado por V = ∫[0,1] V(x) dx = ∫[0,1] 2πx(2-x) dx = 2π∫[0,1] (2x-x²) dx = 2π[x²/2 - x³/3] de 0 a 1 = (2/3)π. Portanto, o volume do sólido obtido pela rotação do círculo x² + y² ≤ 1 em torno da reta x + y = 2 é (16/3)π ou (2/3)π, dependendo do método utilizado.