Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f (x) = ex no ponto de abscissa 0. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f (x) = ln...

Para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = e^x no ponto de abscissa 0, precisamos encontrar a derivada de f(x) e avaliá-la em x = 0. Temos: f(x) = e^x f'(x) = e^x Avaliando em x = 0, temos: f'(0) = e^0 = 1 Portanto, a equação da reta tangente é y = f'(0)(x - 0) + f(0), ou seja, y = x + 1. Para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = ln x no ponto de abscissa 1, seguimos o mesmo procedimento: f(x) = ln x f'(x) = 1/x Avaliando em x = 1, temos: f'(1) = 1/1 = 1 Portanto, a equação da reta tangente é y = f'(1)(x - 1) + f(1), ou seja, y = (x - 1) + 0 = x - 1. Os gráficos de f(x) = e^x e das retas tangentes y = x + 1 e y = x - 1 são:  Para mostrar que f'(x) = ax ln a, usamos a regra do produto da derivada: f(x) = ax f'(x) = a * 1 + x * a * 0 f'(x) = a Agora, usamos a regra da cadeia para derivar f(x) = ax ln a: f(x) = ax ln a f'(x) = a * (1/x) * ln a + ax * (1/x^2) * 1 f'(x) = a ln a / x + a/x Simplificando, temos: f'(x) = a ln a / x + a/x f'(x) = a (ln a + 1) / x Para calcular f'(x) para f(x) = 2x, f(x) = 5x, f(x) = πx e f(x) = e^x, basta aplicar a regra da potência: f(x) = 2x f'(x) = 2 f(x) = 5x f'(x) = 5 f(x) = πx f'(x) = π f(x) = e^x f'(x) = e^x Para mostrar que g(x) = loga x, temos: g(x) = loga x g'(x) = 1 / (x * ln a) Portanto, a derivada de g(x) é g'(x) = 1 / (x * ln a).