Calcule o centro de massa do setor circular A dado por x2 + y2 ≤ R2, 0 ≤ y ≤ αx e 0 ≤ x ≤ R, com R > 0 e 0 < α.

Para calcular o centro de massa do setor circular A, podemos utilizar as fórmulas: x_cm = (1/M) * ∬(A) x * dm y_cm = (1/M) * ∬(A) y * dm Onde M é a massa total do setor circular A e dm é a densidade de massa diferencial. Para encontrar a densidade de massa diferencial, podemos utilizar a relação: dm = σ * ds Onde σ é a densidade superficial de massa e ds é o elemento de comprimento diferencial. Podemos reescrever a equação da curva y = αx como x = y/α e, em seguida, substituir na equação do círculo para obter: y^2 + (y/α)^2 ≤ R^2 Simplificando, temos: y^2 + y^2/α^2 ≤ R^2 Multiplicando ambos os lados por α^2, temos: α^2 * y^2 + y^2 ≤ α^2 * R^2 Somando os termos semelhantes, temos: (α^2 + 1) * y^2 ≤ α^2 * R^2 Portanto, a equação para a curva limite é: y = ±(α * R) / sqrt(α^2 + 1) Podemos dividir o setor circular A em pequenos elementos de área diferencial dA e, em seguida, integrar para encontrar a massa total M: M = ∬(A) dm = ∬(A) σ * ds = σ * ∬(A) ds Integrando em coordenadas polares, temos: M = σ * ∫(0)^(αR) ∫(0)^(2π) r * dr * dθ = (1/2) * σ * α * R^3 Agora podemos calcular o centro de massa: x_cm = (1/M) * ∬(A) x * dm y_cm = (1/M) * ∬(A) y * dm Integrando em coordenadas polares, temos: x_cm = (1/M) * ∫(0)^(αR) ∫(0)^(2π) r * cos(θ) * dm y_cm = (1/M) * ∫(0)^(αR) ∫(0)^(2π) r * sin(θ) * dm Substituindo dm por σ * ds e integrando, temos: x_cm = (1/M) * ∫(0)^(αR) ∫(0)^(2π) r * cos(θ) * σ * ds y_cm = (1/M) * ∫(0)^(αR) ∫(0)^(2π) r * sin(θ) * σ * ds Integrando em coordenadas polares, temos: x_cm = (1/M) * ∫(0)^(αR) ∫(0)^(2π) r * cos(θ) * σ * r * dθ * dr y_cm = (1/M) * ∫(0)^(αR) ∫(0)^(2π) r * sin(θ) * σ * r * dθ * dr Substituindo σ por M/(πR^2) e integrando, temos: x_cm = (1/M) * ∫(0)^(αR) ∫(0)^(2π) r^2 * cos(θ) * (M/(πR^2)) * r * dθ * dr y_cm = (1/M) * ∫(0)^(αR) ∫(0)^(2π) r^2 * sin(θ) * (M/(πR^2)) * r * dθ * dr Simplificando, temos: x_cm = (2/(α^2 + 3)) * R * cos(α/2) y_cm = (2/(α^2 + 3)) * R * sin(α/2) Portanto, o centro de massa do setor circular A é (x_cm, y_cm) = ((2/(α^2 + 3)) * R * cos(α/2), (2/(α^2 + 3)) * R * sin(α/2)).