Determine o centro de massa do setor circular A dado por x2 + y2 ≤ R2, 0 ≤ y ≤ αx e 0 ≤ x ≤ R, com R > 0 e 0 < α.

Para determinar o centro de massa do setor circular A, podemos utilizar as fórmulas: x_cm = (1/M) * ∬(A) x * dm y_cm = (1/M) * ∬(A) y * dm Onde M é a massa total do setor circular A e dm é a massa de um elemento diferencial de área dA. Para encontrar a massa total M, podemos integrar a densidade de massa ρ sobre a área A: M = ∬(A) ρ * dA Como a densidade de massa é constante, podemos escrever: M = ρ * A Onde A é a área do setor circular A. Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular as integrais duplas de x * dm e y * dm sobre a área A. Para isso, podemos utilizar coordenadas polares, já que o setor circular A é simétrico em relação ao eixo polar. Assim, temos: x = r * cos(θ) y = r * sin(θ) E a área diferencial é dA = r * dr * dθ. Substituindo na fórmula de x_cm, temos: x_cm = (1/M) * ∬(A) x * dm x_cm = (1/M) * ∬(A) r * cos(θ) * ρ * r * dr * dθ x_cm = (1/M) * ∫(0)^(R) ∫(0)^(αx) r^2 * cos(θ) * ρ * dr * dθ + (1/M) * ∫(αR)^(R) ∫(0)^(R) r^2 * cos(θ) * ρ * dr * dθ Integrando em relação a r, temos: x_cm = (1/M) * ∫(0)^(R) [ρ * cos(θ) * r^4 / 4] |_(0)^(αx) dθ + (1/M) * ∫(αR)^(R) [ρ * cos(θ) * r^4 / 4] |_(0)^(R) dθ x_cm = (1/M) * ∫(0)^(α) [ρ * cos(θ) * R^4 * α^4 / 4] dθ + (1/M) * ∫(α)^(π/2) [ρ * cos(θ) * R^4 / 4] dθ x_cm = (1/M) * [ρ * R^4 * α^4 / 4] * [sin(α) - α * cos(α)] + (1/M) * [ρ * R^4 / 4] * [sin(π/2) - sin(α) + α * cos(α)] Substituindo M = ρ * A, temos: x_cm = (1/A) * [R^4 * α^4 / 4] * [sin(α) - α * cos(α)] + (1/A) * [R^4 / 4] * [sin(π/2) - sin(α) + α * cos(α)] Para encontrar y_cm, basta substituir y no lugar de x na fórmula de x_cm e integrar em relação a θ: y_cm = (1/M) * ∬(A) y * dm y_cm = (1/M) * ∬(A) r * sin(θ) * ρ * r * dr * dθ y_cm = (1/M) * ∫(0)^(R) ∫(0)^(αx) r^2 * sin(θ) * ρ * dr * dθ + (1/M) * ∫(αR)^(R) ∫(0)^(R) r^2 * sin(θ) * ρ * dr * dθ Integrando em relação a r, temos: y_cm = (1/M) * ∫(0)^(R) [ρ * sin(θ) * r^4 / 4] |_(0)^(αx) dθ + (1/M) * ∫(αR)^(R) [ρ * sin(θ) * r^4 / 4] |_(0)^(R) dθ y_cm = (1/M) * ∫(0)^(α) [ρ * sin(θ) * R^4 * α^4 / 4] dθ + (1/M) * ∫(α)^(π/2) [ρ * sin(θ) * R^4 / 4] dθ y_cm = (1/M) * [ρ * R^4 * α^4 / 4] * [cos(α) - α * sin(α)] + (1/M) * [ρ * R^4 / 4] * [cos(α) - cos(π/2) + α * sin(α)] Substituindo M = ρ * A, temos: y_cm = (1/A) * [R^4 * α^4 / 4] * [cos(α) - α * sin(α)] + (1/A) * [R^4 / 4] * [cos(α) - cos(π/2) + α * sin(α)] Portanto, o centro de massa do setor circular A é dado por (x_cm, y_cm) = ((1/A) * [R^4 * α^4 / 4] * [sin(α) - α * cos(α)] + (1/A) * [R^4 / 4] * [sin(π/2) - sin(α) + α * cos(α)], (1/A) * [R^4 * α^4 / 4] * [cos(α) - α * sin(α)] + (1/A) * [R^4 / 4] * [cos(α) - cos(π/2) + α * sin(α)]).