EXEMPLO 4. Determine a função y = f (x) tal que f (1) = 1 e que goza da propriedade: o coeficiente angular da reta tangente no ponto de abscissa x ...

Para encontrar a função y = f(x) que satisfaz as condições dadas, podemos usar a regra da cadeia para encontrar a derivada da função. Sabemos que a derivada da função é igual ao coeficiente angular da reta tangente no ponto de abscissa x. Assim, temos: f'(x) = y' = xy Podemos resolver essa equação diferencial separando as variáveis x e y: dy/y = x dx Integrando ambos os lados, temos: ln|y| = (x^2)/2 + C onde C é a constante de integração. Usando a condição inicial f(1) = 1, podemos encontrar o valor de C: ln|1| = (1^2)/2 + C C = -1/2 Substituindo o valor de C na equação, temos: ln|y| = (x^2)/2 - 1/2 Tomando o exponencial em ambos os lados, temos: |y| = e^(x^2/2 - 1/2) Como queremos que a função seja contínua, podemos incluir o sinal de y: y = ± e^(x^2/2 - 1/2) Usando a condição inicial f(1) = 1, podemos determinar o sinal correto: 1 = ± e^(1/2 - 1/2) 1 = ± e^0 1 = ± 1 Portanto, a função procurada é: y = e^(x^2/2 - 1/2)