Utilizando o critério de Lebesgue, conclua que [0, 1] não tem medida nula.

Para provar que o intervalo [0,1] não tem medida nula, podemos utilizar o critério de Lebesgue. Suponha por contradição que [0,1] tem medida nula. Então, para qualquer número positivo ε, deve existir uma cobertura de [0,1] por um número finito de intervalos abertos cuja soma dos comprimentos seja menor que ε. Considere a sequência de intervalos abertos I_n = (1/(n+1), 1/n), para n = 1, 2, 3, ... . Cada intervalo I_n tem comprimento 1/n - 1/(n+1) = 1/(n(n+1)). Observe que a união desses intervalos abertos cobre todo o intervalo [0,1], ou seja, [0,1] está contido na união dos I_n. Além disso, a soma dos comprimentos dos intervalos I_n é dada por: ∑(1/(n(n+1))) = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... = 1 Portanto, temos uma cobertura de [0,1] por um número infinito de intervalos abertos cuja soma dos comprimentos é igual a 1, o que contradiz a hipótese de que [0,1] tem medida nula. Concluímos que [0,1] não tem medida nula.