Utilizando o critério de Lebesgue, prove que se f for integrável em [a, b], então | f | e f2 também serão.

Para provar que se f é integrável em [a, b], então |f| e f² também são, utilizando o critério de Lebesgue, podemos seguir os seguintes passos: 1. Primeiro, devemos lembrar que uma função f é integrável em [a, b] se e somente se ela é limitada e se sua função valor absoluto |f| é integrável em [a, b]. 2. Em seguida, podemos utilizar o critério de Lebesgue para mostrar que se |f| é integrável em [a, b], então f² também é integrável em [a, b]. 3. Para isso, podemos utilizar a desigualdade de Hölder, que afirma que para quaisquer duas funções integráveis f e g em [a, b], temos: ∫ |f(x)g(x)| dx ≤ (∫ |f(x)|² dx)^(1/2) * (∫ |g(x)|² dx)^(1/2) 4. Aplicando essa desigualdade para f(x) = |f(x)| e g(x) = |f(x)|, temos: ∫ |f(x)|³ dx ≤ (∫ |f(x)|² dx)^(1/2) * (∫ |f(x)|² dx)^(1/2) 5. Simplificando a expressão, temos: ∫ |f(x)|³ dx ≤ (∫ |f(x)|² dx) 6. Como |f| é integrável em [a, b], temos que ∫ |f(x)| dx < ∞. Portanto, elevando ambos os lados da desigualdade ao quadrado, temos: (∫ |f(x)|³ dx)² ≤ (∫ |f(x)|² dx)² 7. Dividindo ambos os lados da desigualdade por (∫ |f(x)|² dx), temos: ∫ |f(x)|³ dx / (∫ |f(x)|² dx) ≤ (∫ |f(x)|² dx) / (∫ |f(x)|² dx) 8. Simplificando a expressão, temos: ∫ |f(x)| dx ≤ ∫ |f(x)|² dx 9. Portanto, se f é integrável em [a, b], então |f| e f² também são integráveis em [a, b], conforme queríamos demonstrar.