Utilizando o critério de Lebesgue, prove que se f for integrável em [a, b], então |f| e f² também serão.

Para provar que se f é integrável em [a, b], então |f| e f² também são integráveis, podemos utilizar o critério de Lebesgue. Primeiro, vamos considerar a função |f|. Se f é integrável em [a, b], então podemos escrever: ∫|f| dx = sup{∫s dx : s é uma função simples não negativa e s ≤ |f|} Agora, podemos escrever |f| como a soma de duas funções simples não negativas: |f| = f⁺ + f⁻ Onde f⁺(x) = max{f(x), 0} e f⁻(x) = max{-f(x), 0}. Note que f⁺ e f⁻ são não negativas e que |f| = f⁺ + f⁻. Assim, temos: ∫|f| dx = ∫(f⁺ + f⁻) dx = ∫f⁺ dx + ∫f⁻ dx Como f⁺ e f⁻ são não negativas, temos que: 0 ≤ ∫f⁺ dx ≤ ∫|f| dx e 0 ≤ ∫f⁻ dx ≤ ∫|f| dx Portanto, ∫f⁺ dx e ∫f⁻ dx são finitas e, portanto, f⁺ e f⁻ são integráveis. Assim, concluímos que |f| é integrável. Agora, vamos considerar a função f². Podemos escrever: |f²| = |f|² = f² ou 0, dependendo do sinal de f Assim, temos que: ∫|f²| dx = ∫f² dx = ∫f(x) * f(x) dx Como f é integrável, temos que f(x) * f(x) é integrável e, portanto, f² é integrável. Portanto, se f é integrável em [a, b], então |f| e f² também são integráveis.