Princípio de indução finita (PIF). Sejam a um número natural dado e P(k) uma proposição associada a cada natural k, k ≥ a. Suponhamos que P(k) seja...

O princípio de indução finita (PIF) é um método de prova matemática que permite provar que uma proposição é verdadeira para todos os números naturais maiores ou iguais a um número natural dado. Para isso, é necessário provar que a proposição é verdadeira para o número natural dado (k = a) e que, se a proposição é verdadeira para um número natural k, então ela também é verdadeira para o próximo número natural (k + 1). No caso da fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton, a proposição P(k) é a afirmação de que a fórmula é verdadeira para um número natural k dado. A prova consiste em mostrar que, se a fórmula é verdadeira para um número natural k, então ela também é verdadeira para o próximo número natural (k + 1). Para isso, é necessário multiplicar os dois membros da fórmula por (A + B), multiplicar o segundo membro por A e por B, utilizar a propriedade dos coeficientes binomiais e lembrar que a soma dos coeficientes é exatamente o desenvolvimento do binômio de Newton (A + B)^(k+1). Assim, concluímos que para todo k ≥ 2, P(k) ⇒ P(k + 1) e, portanto, a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton é verdadeira para todo número natural k maior ou igual a 2.