Dado um número natural k maior que 1, prove que é imposśıvel colocar os números 1, 2, ..., k2 em um tabuleiro k × k de forma que todas as somas...

Para provar que é impossível colocar os números de 1 a k² em um tabuleiro k x k de forma que todas as somas das linhas e colunas sejam potências de 2, podemos utilizar o método da contradição. Suponha que seja possível colocar os números de 1 a k² em um tabuleiro k x k de forma que todas as somas das linhas e colunas sejam potências de 2. Considere a soma de todos os números no tabuleiro. Essa soma é igual a: 1 + 2 + ... + k² = k²(k² + 1)/2 Como todas as somas das linhas e colunas são potências de 2, cada uma delas é da forma 2^a, onde a é um número natural. Assim, a soma de todos os números no tabuleiro é da forma: 2^a1 + 2^a2 + ... + 2^ak onde a1, a2, ..., ak são números naturais. Mas sabemos que a soma de uma progressão geométrica de razão 2 é dada por: 2^ak+1 - 1 Assim, a soma de todos os números no tabuleiro é da forma: 2^ak+1 - 1 Mas isso é impossível, pois a soma de todos os números no tabuleiro é igual a k²(k² + 1)/2, que não é da forma 2^ak+1 - 1 para nenhum número natural k. Portanto, chegamos a uma contradição e concluímos que é impossível colocar os números de 1 a k² em um tabuleiro k x k de forma que todas as somas das linhas e colunas sejam potências de 2.