Seja f : [−1, 1] → ℝ dada por Prove que f (1) é o valor máximo de f. Prove que existe x1 ∈ ]−1, 0 [tal que f (x1) é o valor mínimo de f.

Para provar que f(1) é o valor máximo de f, podemos utilizar o Teorema de Weierstrass, que afirma que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge seus valores máximo e mínimo. Como f é contínua em [−1, 1], e [−1, 1] é um intervalo fechado e limitado, então f atinge seu valor máximo em algum ponto de [−1, 1]. Como f(1) ∈ [−1, 1], então f(1) é um candidato a ser o valor máximo de f. Além disso, como f(x) ≤ 1 para todo x ∈ [−1, 1], então f(1) é de fato o valor máximo de f. Para provar que existe x1 ∈ ]−1, 0[ tal que f(x1) é o valor mínimo de f, podemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário, que afirma que se f é contínua em [a, b] e k é um número entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um ponto c ∈ [a, b] tal que f(c) = k. Como f é contínua em [−1, 1], então f é contínua em ]−1, 1[. Além disso, temos que f(−1) = f(1) = 1 e f(0) = 0. Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe x1 ∈ ]−1, 0[ tal que f(x1) = f(−1) = 1, que é o valor mínimo de f em ]−1, 1[.