Seja f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, em que a > 0, b, c, d são reais dados. Prove que existem números reais x1 e x2 tais que f (x1) < 0 e f (x2) > 0.

Para provar que existem números reais x1 e x2 tais que f (x1) < 0 e f (x2) > 0, podemos usar o Teorema de Bolzano. O Teorema de Bolzano afirma que se uma função f(x) é contínua em um intervalo fechado [a, b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos um número c no intervalo (a, b) tal que f(c) = 0. Nesse caso, podemos considerar o intervalo fechado [0, 1]. Como a > 0, temos que f(0) = d < 0 e f(1) = a + b + c + d > 0. Portanto, f(0) e f(1) têm sinais opostos. Pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um número c no intervalo (0, 1) tal que f(c) = 0. Como a > 0, temos que f(x) é crescente para x > 0. Portanto, se f(c) = 0, temos que f(x) < 0 para x < c e f(x) > 0 para x > c. Assim, podemos escolher x1 = 0 e x2 = c para concluir que existem números reais x1 e x2 tais que f (x1) < 0 e f (x2) > 0.