Seja f uma função definida em ℝ. Dizemos que f é uma função par se, para todo x, f(−x) = f(x). Dizemos, por outro lado, que f é uma função ímpar se...

Seja f uma função definida em ℝ. Dizemos que f é uma função par se, para todo x, f(−x) = f(x). Dizemos, por outro lado, que f é uma função ímpar se, para todo x, f(−x) = −f(x). EXEMPLO 1. Mostre que sen é uma função ímpar. cos é uma função par. Solução Fazendo em (3) a = 0 e b = t, resulta sen(−t) = sen 0 cos t − sen t cos 0 ou seja sen(−t) = −sen t. Fazendo em (4) a = 0 e b = t resulta cos(−t) = cos t. EXEMPLO 2. Mostre que quaisquer que sejam os reais a e b cos(a + b) = cos a cos b − sen a sen b e sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a. Solução cos(a + b) = cos [a − (−b)] = cos a cos (−b) + sen a sen (−b) = cos a cos b − sen a sen b. sen(a + b) = sen [a − (−b)] = sen a cos (−b) − sen (−b) cos a = sen a cos b + sen b cos a. ■ EXEMPLO 3. Mostre que, para todo x, cos 2x = cos2 x − sen2 x e sen 2x = 2 sen x cos x. Solução cos 2x = cos (x + x) = cos x cos x − sen x sen x = cos2 x − sen2 x. sen 2x = sen (x + x) = sen x cos x + sen x cos x = 2 sen x cos x. ■ EXEMPLO 4. Mostre que, para todo x, Solução cos 2x = cos2 x − sen2 x = cos2 x − (1 − cos2 x) logo Verifique você que b) c) d) EXEMPLO 5. Calcule. Solução Provaremos mais adiante que cos x > 0 e sen x > 0 em ]0, daí, e como resulta (verifique). Fazendo em cos 2x = 1 − 2 sen2x, obtemos cos π = −1. Fazendo em sen 2x = 2 sen x cos x, resulta sen π = 0. Interprete geometricamente os resultados deste exemplo. ■ Deixamos a seu cargo verificar que, para todo x, sen(x + 2π) = sen x e cos(x + 2π) = cos x As funções sen e cos são periódicas com período 2π. Os gráficos das funções sen e cos têm os seguintes aspectos: EXEMPLO 6. Esboce o gráfico da função dada por Solução Primeiro vamos estudar o comportamento de y para Assim, para À medida que x aumenta, vai se aproximando de zero, o mesmo acontecendo com sen Para é só observar que sen é ímpar. Observe que para Vejamos, agora, o comportamento de sen para Quando x varia em fica oscilando entre 1 e −1. Exercícios 2.2 Esboce o gráfico. Sejam a e b reais quaisquer. Verifique que AS FUNÇÕES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE A função tg dada por tg denomina-se função tangente; seu domínio é o conjunto de todos os x tais que cos x ≠ 0. O gráfico da tangente tem o seguinte aspecto: Geometricamente, interpretamos tg x como a medida algébrica do segmento AT, no qual T é a interseção da reta OP com o eixo das tangentes e AP o arco de medida x rad. Os triângulos 0MP e 0AT são semelhantes. Assim: isto é, As funções sec (secante), cotg (cotangente) e cosec (cossecante) são dadas por O gráfico da secante tem o seguinte aspecto: 1. a) b) 2. 3. 2.4. a) Exercícios 2.3 Determine o domínio e esboce o gráfico. f(x) = cotg x g(x) = cosec x Verifique que sec2 x = 1 + tg2 x para todo x tal que cos x ≠ 0. Mostre que, para todo x, com cos tem-se: OPERAÇÕES COM FUNÇÕES Sejam f e g duas funções tais que Df ∩ Dg seja diferente do vazio. Definimos: A função f + g dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) denomina-se soma de f e g. O domínio de f + g é Df ∩ Dg. Observe que f + g é uma notação para indicar a função dada por y = f(x) + g(x). b) c) d) a) b) c) A função f · g dada por (f · g)(x) = f(x) · g(x) denomina-se produto de f e g. O domínio de f · g é Df ∩ Dg. A função dada por denomina-se quociente de f e g. O domínio de é x ∈ Df ∩ Dg | g(x) ≠ 0}. A função kf, k constante, dada por (kf)(x) = kf(x) é o produto de f pela constante k; Dkf = Df. EXEMPLO 1. Sejam O domínio de f + g é [2, 7] = Df ∩ Dg. O domínio de fg é [2, 7] = Df ∩ Dg. Sendo f uma função, definimos a im