A função y = f (x), y > 0, é dada implicitamente por x2 + 4y2 = 2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abscissa 1.

Para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1, precisamos encontrar a derivada da função f(x) e avaliá-la no ponto x = 1. Começando com a equação implícita dada: x² + 4y² = 2, podemos isolar y e obter a função explícita: y = (1/2) * sqrt(2 - x²/4). Agora, podemos encontrar a derivada de f(x) em relação a x: f'(x) = (-x/2) * (2 - x²/4)^(-1/2) Avaliando f'(1), temos: f'(1) = (-1/2) * (2 - 1/4)^(-1/2) = -sqrt(15)/8 Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 é: y - f(1) = f'(1) * (x - 1) Substituindo os valores, temos: y - (1/2) * sqrt(7/2) = (-sqrt(15)/8) * (x - 1) Simplificando, temos: y = (-sqrt(15)/8) * x + (9/8) * sqrt(7/2) + (1/2) * sqrt(7/2) Portanto, a equação da reta tangente é y = (-sqrt(15)/8) * x + (9/8) * sqrt(7/2) + (1/2) * sqrt(7/2).