1. A função y = f (x), y > 0, é dada implicitamente por x^2 + 4y^2 = 2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abscissa ...

Para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1, podemos utilizar o conceito de derivada. Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) implicitamente em relação a x. Dada a função x^2 + 4y^2 = 2, podemos derivar ambos os lados em relação a x: 2x + 8y * dy/dx = 0 Agora, vamos encontrar o valor de dy/dx no ponto de abscissa 1. Substituindo x = 1 na equação acima, temos: 2(1) + 8y * dy/dx = 0 2 + 8y * dy/dx = 0 Agora, vamos encontrar o valor de y no ponto de abscissa 1. Substituindo x = 1 na equação original, temos: 1^2 + 4y^2 = 2 1 + 4y^2 = 2 4y^2 = 1 y^2 = 1/4 y = 1/2 ou y = -1/2 Agora, substituindo y = 1/2 na equação 2 + 8y * dy/dx = 0, temos: 2 + 8(1/2) * dy/dx = 0 2 + 4 * dy/dx = 0 dy/dx = -1/4 Portanto, a derivada da função f(x) no ponto de abscissa 1 é -1/4. Agora, podemos usar a equação da reta tangente para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1: y - y1 = m(x - x1) Substituindo x1 = 1, y1 = 1/2 e m = -1/4, temos: y - 1/2 = -1/4(x - 1) Simplificando a equação, temos: y - 1/2 = -1/4x + 1/4 y = -1/4x + 3/4 Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 é y = -1/4x + 3/4.