Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. Seja f (x) = x2. Determine a equação da reta que é tang...

A função dada é f(x) = x². Para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado, é necessário calcular a derivada da função f(x) e avaliá-la no ponto dado. f(x) = x² f'(x) = 2x No ponto dado, a coordenada x é desconhecida. Portanto, é necessário fornecer o ponto para determinar a equação da reta tangente. Suponha que o ponto dado seja (a, f(a)). A equação da reta tangente é dada por: y - f(a) = f'(a)(x - a) Substituindo f(x) e f'(x) pelos valores encontrados acima, temos: y - f(a) = 2a(x - a) Para determinar a equação da reta normal, basta encontrar a equação da reta perpendicular à reta tangente no ponto dado. A inclinação da reta normal é o inverso negativo da inclinação da reta tangente. A inclinação da reta tangente é 2a. Portanto, a inclinação da reta normal é -1/(2a). A equação da reta normal é dada por: y - f(a) = (-1/(2a))(x - a) Para determinar a equação da reta que é tangente ao gráfico de f e paralela à reta, é necessário encontrar o ponto em que a reta tangente e a reta dada se interceptam. Em seguida, é possível determinar a equação da reta que passa por esse ponto e é paralela à reta dada. Suponha que a equação da reta dada seja y = mx + b. A inclinação da reta dada é m. A inclinação da reta tangente é 2a. Para que a reta tangente seja paralela à reta dada, é necessário que 2a = m. Substituindo y = mx + b na equação da reta tangente, temos: mx + b - f(a) = 2a(x - a) Simplificando, temos: (2a - m)x = f(a) - b - 2a(a) Portanto, o ponto de interseção é dado por: x = (f(a) - b - 2a(a))/(2a - m) y = mx + b Substituindo x na equação da reta dada, temos: y = m[(f(a) - b - 2a(a))/(2a - m)] + b Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de f e paralela à reta dada é: y = m[(f(a) - b - 2a(a))/(2a - m)] + b