Verifique que sec2 x = 1 + tg2 x para todo x tal que cos x ≠ 0. Mostre que, para todo x, com cos tem-se: OPERAÇÕES COM FUNÇÕES Sejam f e g duas fun...

Question

Verifique que sec2 x = 1 + tg2 x para todo x tal que cos x ≠ 0. Mostre que, para todo x, com cos tem-se: OPERAÇÕES COM FUNÇÕES Sejam f e g duas funções tais que Df ∩ Dg seja diferente do vazio. Definimos: A função f + g dada por (f + g) (x) = f (x) + g (x) denomina-se soma de f e g. O domínio de f + g é Df ∩ Dg. Observe que f + g é uma notação para indicar a função dada por y = f (x) + g (x). A função f · g dada por (f · g) (x) = f (x) · g (x) denomina-se produto de f e g. O domínio de f · g é Df ∩ Dg. A função dada por denomina-se quociente de f e g. O domínio de é x ∈ Df ∩ Dg | g (x) ≠ 0}. A função kf, k constante, dada por (kf) (x) = kf (x) é o produto de f pela constante k; Dkf = Df. EXEMPLO 1. Sejam O domínio de f + g é [2, 7] = Df ∩ Dg. O domínio de fg é [2, 7] = Df ∩ Dg. Sendo f uma função, definimos a imagem de f por Imf = { f (x) | x ∈ Df }. Definição (de função composta). Sejam f e g duas funções tais que Imf ⊂ Dg. A função dada por y = g (f (x)), x ∈ Df, denomina-se função composta de g e f. É usual a notação g º f para indicar a composta de g e f. Assim, (g º f) (x) = g (f (x)), x ∈ Df. Observe que g º f tem o mesmo domínio que f. EXEMPLO 2. Sejam f e g dadas por f (x) = 2x + 1 e g (x) = x2 + 3x. Determine g º f e f º g. Solução (g º f) (x) = g (f (x)) = [f (x)]2 + 3 [f (x)] = (2x + 1)2 + 3 (2x + 1), x ∈ ℝ = Df. (f º g) (x) = f (g (x)) = f (x2 + 3x) = 2(x2 + 3x) + 1, x ∈ Dg = ℝ.

a)
b)
c)
d)

Ed · Answer

Para verificar que sec²x = 1 + tg²x para todo x tal que cosx ≠ 0, podemos usar as identidades trigonométricas básicas:

sec²x = 1/cos²x e tg²x = sen²x/cos²x

Substituindo tg²x em sec²x, temos:

sec²x = 1 + sen²x/cos²x

Multiplicando ambos os lados por cos²x, temos:

sec²x · cos²x = cos²x + sen²x

Usando a identidade trigonométrica fundamental sen²x + cos²x = 1, temos:

sec²x · cos²x = 1

Dividindo ambos os lados por cos²x, temos:

sec²x = 1/cos²x

Portanto, sec²x = 1 + tg²x para todo x tal que cosx ≠ 0.

Para mostrar que para todo x com cosx tem-se:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
(f / g)(x) = f(x) / g(x)
(kf)(x) = k · f(x)

Podemos usar as definições de soma, produto, quociente e constante de funções:

- Para a soma de funções f e g, temos que (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x em Df ∩ Dg.
- Para o produto de funções f e g, temos que (f · g)(x) = f(x) · g(x) para todo x em Df ∩ Dg.
- Para o quociente de funções f e g, temos que (f / g)(x) = f(x) / g(x) para todo x em Df ∩ Dg, tal que g(x) ≠ 0.
- Para a constante k e a função f, temos que (kf)(x) = k · f(x) para todo x em Df.

Portanto, as alternativas corretas para a questão são:

a) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
b) (f · g)(x) = f(x) · g(x)
c) (f / g)(x) = f(x) / g(x)
d) (kf)(x) = k · f(x)

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