EXEMPLO 5. Um ponto P move-se sobre a elipse 4x2 + y2 = 1. Sabe-se que as coordenadas x (t) e y(t) de P são funções definidas e deriváveis num inte...

Para verificar que em todo t ∈ I, com y (t) ≠ 0, basta mostrar que a derivada de x(t) em relação a t é diferente de zero. Derivando implicitamente a equação da elipse em relação a t, temos: 8x(t) x'(t) + 2y(t) y'(t) = 0 Dividindo ambos os lados por 2y(t), temos: 4x(t) / y(t) x'(t) + y'(t) = 0 Multiplicando ambos os lados por y(t), temos: 4x(t) / y(t) x'(t) y(t) + y(t) y'(t) = 0 Lembrando que 4x² + y² = 1, temos: 4x(t) / y(t) = sqrt(1 - y²(t)) Substituindo na equação anterior, temos: x'(t) sqrt(1 - y²(t)) + y(t) y'(t) = 0 Como y(t) ≠ 0, podemos dividir ambos os lados por y(t), obtendo: x'(t) sqrt(1 - y²(t)) / y(t) + y'(t) = 0 Portanto, em todo t ∈ I, com y (t) ≠ 0, temos que x'(t) é diferente de zero.