Um ponto P move-se sobre a elipse 4x2 + y2 = 1. Sabe-se que as coordenadas x (t) e y(t) de P são funções definidas e deriváveis num intervalo I. Ve...

Para verificar que em todo t ∈ I, com y (t) ≠ 0, basta mostrar que a derivada de x(t) em relação a t é diferente de zero. Usando a regra da cadeia, temos: d/dt (4x^2 + y^2) = d/dt (1) 8x dx/dt + 2y dy/dt = 0 dy/dt = -4x dx/dt / y Como y(t) ≠ 0, podemos dividir ambos os lados por y(t), obtendo: dy/dt ÷ y = -4x dx/dt ÷ y Integrando ambos os lados em relação a t, temos: ln|y(t)| = -4 ∫x(t) dx/dt dt + C Onde C é uma constante de integração. Como x(t) e y(t) são funções definidas e deriváveis em I, podemos afirmar que a integral acima existe e é finita em todo t ∈ I. Tomando exponencial em ambos os lados, temos: |y(t)| = e^(-4 ∫x(t) dx/dt dt + C) Como |y(t)| é sempre positivo, podemos remover os módulos, obtendo: y(t) = e^(-4 ∫x(t) dx/dt dt + C) Como a integral é finita em todo t ∈ I, podemos afirmar que e^(-4 ∫x(t) dx/dt dt + C) é uma constante não nula. Portanto, y(t) ≠ 0 para todo t ∈ I. Assim, podemos concluir que em todo t ∈ I, com y (t) ≠ 0, a derivada de x(t) em relação a t é diferente de zero.