EXEMPLO 2. Determine dois números positivos cuja soma seja 4 e tal que a soma do cubo do menor com o quadrado do maior seja mínima.

Sejam x e y os dois números positivos. Temos que: x + y = 4 Queremos minimizar a expressão: f(x,y) = x³ + y² Podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o mínimo dessa expressão sujeita à restrição dada. Assim, temos: L(x,y,λ) = x³ + y² + λ(x+y-4) Calculando as derivadas parciais e igualando a zero, temos: dL/dx = 3x² + λ = 0 dL/dy = 2y + λ = 0 dL/dλ = x + y - 4 = 0 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos: x = 4/3 e y = 8/3 Portanto, os dois números positivos que satisfazem as condições dadas são 4/3 e 8/3.