EXEMPLO 2. Determine dois números positivos cuja soma seja 4 e tal que a soma do cubo do menor com o quadrado do maior seja mínima. Solução Indique...

Os números procurados são 1 e 3. Para encontrar esses números, primeiro definimos x como o número menor e 4-x como o número maior. Como a soma dos dois números é 4, temos a equação x + (4-x) = 4, que simplifica para 2x = 4 e x = 2. Agora que sabemos que o número menor é 2, podemos encontrar o número maior, que é 4-2 = 2. Em seguida, calculamos a soma do cubo do menor com o quadrado do maior: 2³ + 2² = 8 + 4 = 12. Para verificar se essa é a soma mínima, calculamos a derivada da função S(x) = x³ + (4-x)² em relação a x e igualamos a zero: S'(x) = 3x² - 8x + 8 = 0 Resolvendo para x, obtemos x = 2/3 ou x = 4/3. Como x deve estar entre 0 e 2, a única opção válida é x = 2. Portanto, os números procurados são 1 e 3, e a soma do cubo do menor com o quadrado do maior é mínima e igual a 12.