4.10. Encontre 3 números positivos cuja soma seja 5 e seu produto seja o maior possível.

Para encontrar três números positivos cuja soma seja 5 e seu produto seja o maior possível, podemos utilizar a seguinte estratégia: 1. Dividir 5 por 3, que é o número de termos que queremos somar. Assim, temos 5/3 = 1,6666... 2. Arredondar o resultado para o número mais próximo, que é 2. 3. Escrever os três números como 2 + x, 2 + y e 2 + z, onde x, y e z são números positivos. 4. Calcular o produto desses três números: (2 + x) * (2 + y) * (2 + z) = 8 + 4(x + y + z) + 2(xy + xz + yz) + xyz 5. Como queremos maximizar o produto, devemos maximizar o termo xyz. Para isso, podemos fazer x = y = z. 6. Substituindo x = y = z na equação acima, temos: (2 + x) * (2 + y) * (2 + z) = 8 + 12x + 6x^2 + x^3 7. Derivando essa equação em relação a x e igualando a zero, encontramos o valor de x que maximiza o produto: d/dx [(2 + x) * (2 + x) * (2 + x)] = 12 + 18x + 3x^2 = 0 x = -3 + sqrt(13) ≈ 0,605 8. Substituindo x = y = z = 0,605 na equação (2 + x) * (2 + y) * (2 + z), encontramos o produto máximo: (2 + 0,605) * (2 + 0,605) * (2 + 0,605) ≈ 7,78 Portanto, os três números positivos cuja soma é 5 e seu produto é o maior possível são aproximadamente 2,605, 2,605 e 0,79.