A operação que a cada par (α, β) de números reais associa a sua soma α + β denominase adição e é indicada por +. EXEMPLO. Sejam r e s dois racionai...

A operação que a cada par (α, β) de números reais associa a sua soma α + β denominase adição e é indicada por +. EXEMPLO. Sejam r e s dois racionais; prove: r* + s* = (r + s)*. Solução Precisamos provar que r* + s* ⊂ (r + s)* e que r* + s* ⊃ (r + s)*. Lembramos, inicialmente, que r* = {x ∈ ℚ | x < r }; s* = {x ∈ ℚ | x < s} e (r + s)* = {x ∈ ℚ | x < r + s}. r* + s* ⊂ (r + s)* x ∈ r* + s* ⇔ x = a + b para algum a < r e algum b < s, com a e b racionais. Provamos, assim, que x ∈ r* + s* ⇒ x ∈ (r + s)*; logo, r* + s* ⊂ (r + s)*. (r + s)* ⊂ r* + s* x ∈ (r + s)* ⇒ x < r + s ⇒ x − r < s. Tomemos um racional u, com x − r < u < s. A6.4. u < s ⇒ u ∈ s* x − r < u ⇒ x − u < r ⇒ x − u ∈ r*. Segue que x = (x − u) + u, com x − u ∈ r* e u ∈ s*; logo, x ∈ r* + s*. Provamos assim, que x ∈ (r + s)* ⇒ x ∈ r* + s* logo (r + s)* ⊂ r* + s*.