13. (Ita 98) O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é: a) 12! b) (8!) (5!) c) 12! - (8!) (5!) d...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio da Inclusão e Exclusão (PIE). Primeiro, vamos calcular o número total de anagramas da palavra VESTIBULANDO, que é dado por 12!, já que a palavra tem 12 letras. Agora, vamos calcular o número de anagramas que apresentam as cinco vogais juntas. Podemos considerar as cinco vogais como um único bloco e permutar esse bloco com as outras sete letras. Temos então 8! maneiras de permutar essas oito letras (o bloco das cinco vogais e as outras sete letras). No entanto, as cinco vogais podem ser permutadas entre si de 5! maneiras. Portanto, o número de anagramas que apresentam as cinco vogais juntas é dado por (8!)(5!). No entanto, esse cálculo conta algumas sequências mais de uma vez. Por exemplo, a sequência AEIOU pode ser contada de várias maneiras: AEIOUxxxxxx, xAEIOUxxxxx, xxAEIOUxxxx, etc. Para corrigir isso, vamos subtrair o número de anagramas que apresentam duas sequências de vogais juntas. Existem 6 maneiras de escolher duas sequências de vogais juntas (AEIOU, EIOUA, IOUAE, OUAEI, UAEIO, AEUOI). Cada uma dessas sequências pode ser considerada como um único bloco e permutada com as outras sete letras. Temos então 8! maneiras de permutar esses oito blocos (as duas sequências de vogais juntas e as outras seis letras). No entanto, cada sequência de vogais tem 5! maneiras de ser permutada entre si. Portanto, o número de anagramas que apresentam duas sequências de vogais juntas é dado por 6(8!)(5!). No entanto, esse cálculo subtraiu demais, pois algumas sequências foram subtraídas duas vezes. Por exemplo, a sequência AEIOUxxxAEIOU foi subtraída duas vezes. Para corrigir isso, vamos somar o número de anagramas que apresentam três sequências de vogais juntas. Existem 4 maneiras de escolher três sequências de vogais juntas (AEIOUAEIOU, EIOUAEIOA, IOUAEIOU, OUAEIOUA). Cada uma dessas sequências pode ser considerada como um único bloco e permutada com as outras quatro letras. Temos então 4! maneiras de permutar esses cinco blocos (as três sequências de vogais juntas e as outras quatro letras). No entanto, cada sequência de vogais tem 5! maneiras de ser permutada entre si. Portanto, o número de anagramas que apresentam três sequências de vogais juntas é dado por 4!(5!)³. No entanto, esse cálculo adicionou demais, pois algumas sequências foram somadas duas vezes. Por exemplo, a sequência AEIOUAEIOU foi somada duas vezes. Para corrigir isso, vamos subtrair o número de anagramas que apresentam quatro sequências de vogais juntas. Só existe uma maneira de escolher quatro sequências de vogais juntas (AEIOUAEIOUAEIOU). Essa sequência pode ser considerada como um único bloco e permutada com as outras duas letras. Temos então 2! maneiras de permutar esses três blocos (a sequência de vogais juntas e as outras duas letras). No entanto, a sequência de vogais tem 5! maneiras de ser permutada entre si. Portanto, o número de anagramas que apresentam quatro sequências de vogais juntas é dado por 2!(5!)⁴. Finalmente, o número de anagramas da palavra VESTIBULANDO que não apresentam as cinco vogais juntas é dado por: 12! - (8!)(5!) + 6(8!)(5!) - 4!(5!)³ + 2!(5!)⁴ Resolvendo essa expressão, obtemos: 12! - (8!)(5!) + 6(8!)(5!) - 4!(5!)³ + 2!(5!)⁴ = 12! - 8!(5!)