1. (Unicamp 99) Cada aresta de um tetraedro regular mede 6cm. Para este tetraedro, calcule: a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, entr...

a) A distância entre duas arestas opostas de um tetraedro regular é igual a duas vezes a altura do tetraedro. Para calcular a altura, podemos usar o teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo formado por uma aresta do tetraedro, a metade de uma aresta oposta e a altura. Assim, temos: a² = (b/2)² + h² 6² = (b/2)² + h² 36 = (b²/4) + h² Também sabemos que a altura divide a aresta oposta em duas partes iguais, cada uma medindo 1/3 da aresta. Portanto, b = 3 x 6 = 18. Substituindo na equação anterior, temos: 36 = (18²/4) + h² 36 = 81 + h² h² = -45 (impossível) Não há solução real para a altura do tetraedro, o que significa que a distância entre duas arestas opostas não pode ser calculada. b) O raio da esfera inscrita em um tetraedro regular é dado por: r = (V/6)^(1/3) Onde V é o volume do tetraedro. O volume de um tetraedro regular é dado por: V = (a³/12) x √2 Substituindo a aresta a = 6, temos: V = (6³/12) x √2 V = 36√2 Substituindo na fórmula do raio, temos: r = (36√2/6)^(1/3) r = 2√2 Portanto, o raio da esfera inscrita no tetraedro é igual a 2√2 cm.