4. (Pucrj) Considere o triângulo equilátero ABC inscrito no círculo de raio 1 e centro O, como apresentado na figura abaixo. a) Calcule o ângulo AÔ...

a) O ângulo AÔB é igual a 60 graus, pois o triângulo ABC é equilátero e possui três ângulos internos iguais a 60 graus cada. b) Para calcular a área da região hachurada, é necessário subtrair a área do triângulo equilátero ABC da área do setor circular AÔB. O setor circular AÔB tem ângulo central de 120 graus (2 vezes o ângulo AÔB) e raio igual a 1, portanto sua área é (120/360) x π x 1² = (1/3)π. Já a área do triângulo ABC é (√3/4) x 1² = (√3/4). Portanto, a área da região hachurada é (1/3)π - (√3/4). c) A área do triângulo equilátero ABC pode ser calculada pela fórmula A = (l²√3)/4, onde l é o lado do triângulo. Como o raio do círculo circunscrito é 1, temos que o lado do triângulo é 2, pois ele é formado por dois raios do círculo. Substituindo na fórmula, temos A = (2²√3)/4 = √3. Portanto, a área do triângulo ABC é √3.