210. (Ufv) O inteiro 2 é raiz do polinômio p(x) = 4x¤ - 4x£ - 11x + k, onde k é uma constante real. a) Determine o valor de k. b) Determine as outr...

a) Para encontrar o valor de k, podemos substituir x = 2 na equação e igualar a zero, já que 2 é uma raiz do polinômio. Assim, temos: p(2) = 4(2)² - 4(2)³ - 11(2) + k = 0 k = 4(2)² - 4(2)³ - 11(2) k = -32 Portanto, o valor de k é -32. b) Para encontrar as outras raízes de p(x), podemos utilizar a fatoração do polinômio. Como 2 é uma raiz, podemos dividir p(x) por x - 2 utilizando a regra de Briot-Ruffini: 2 | 4 -4 -11 k | 8 8 -6 -34 |______________ 4 4 -17 -34 Assim, temos que: p(x) = (x - 2)(4x² + 4x - 17) Para encontrar as outras raízes, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação 4x² + 4x - 17 = 0: Δ = 4² - 4(4)(-17) = 288 x = (-4 ± √288)/8 x = (-1 ± √2.18)/2 Portanto, as outras raízes de p(x) são (-1 + √2.18)/2 e (-1 - √2.18)/2. c) Para determinar os intervalos onde p(x) > 0, podemos utilizar o método da análise do sinal. Para isso, precisamos encontrar os pontos críticos do polinômio, que são as raízes e os pontos onde o polinômio se anula. Temos: p(0) = k < 0 p(2) = 0 p((-1 - √2.18)/2) < 0 p((-1 + √2.18)/2) > 0 Assim, podemos montar a seguinte tabela: x | -∞ | (-1 - √2.18)/2 | 2 | (-1 + √2.18)/2 | +∞ p(x) | - | - | 0 | + | - Portanto, os intervalos onde p(x) > 0 são (-1 + √2.18)/2 < x < 2 e x > (-1 + √2.18)/2.