213. (Ufmg) Sejam p( x ) = 4x¤ + bx£ + cx + d e q( x ) = mx£ + nx - 3 polinômios com coeficientes reais. Sabe-se que p( x ) = (2x - 6)q( x ) + ...

A alternativa incorreta é a letra d) m = 2. Para provar isso, podemos usar a igualdade dada no enunciado: p(x) = (2x - 6)q(x) + x - 10. Substituindo x = 0, temos: p(0) = (2*0 - 6)q(0) + 0 - 10 => p(0) = -10. Por outro lado, sabemos que p(x) = 4x² + bx + cx + d. Substituindo x = 0, temos: p(0) = d. Portanto, d = -10. Agora, substituindo x = 3, temos: p(3) = (2*3 - 6)q(3) + 3 - 10 => p(3) = 6q(3) - 7. Usando a igualdade dada no enunciado novamente, podemos escrever: p(3) = 4*3² + b*3 + c*3 - 10. Substituindo d = -10, temos: 36 + 3b + 3c - 10 = 26 + 3b + 3c. Logo, p(3) = 6q(3) - 7 = 26 + 3b + 3c. Portanto, p(3) = -7, o que confirma a alternativa b). Agora, se 10 é raiz de q(x), então podemos escrever q(x) como q(x) = (x - 10)r(x), onde r(x) é um polinômio com coeficientes reais. Substituindo essa expressão em p(x), temos: p(x) = (2x - 6)(x - 10)r(x) + x - 10. Podemos simplificar essa expressão: p(x) = (2x² - 26x + 60)r(x) + x - 10. Se 10 é raiz de q(x), então q(10) = 0. Substituindo x = 10, temos: p(10) = (2*10 - 6)q(10) + 10 - 10 => p(10) = 0. Mas p(10) = 4*10² + b*10 + c*10 + d. Substituindo d = -10 e simplificando, temos: p(10) = 40 + 10b + 10c. Portanto, 40 + 10b + 10c = 0, o que implica que 10 é raiz de p(x). Assim, a alternativa a) está correta. Por fim, substituindo d = -10 na expressão de p(x), temos: p(x) = 4x² + bx + cx - 10. Comparando com a expressão simplificada de p(x) que encontramos anteriormente, temos: 4x² + bx + cx - 10 = (2x² - 26x + 60)r(x) + x - 10. Igualando os coeficientes de x², x e o termo independente, temos: 2x² - 26x + 60 = 4x² => 2x² - 26x + 60 - 4x² = 0 => -2x² - 26x + 60 = 0. Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos: x = (26 ± √(26² - 4*(-2)*60)) / (-4) => x = (26 ± √676) / (-4) => x = (26 ± 26) / (-4). Portanto, x = -1 ou x = 15/2. Como m é o coeficiente de x² em q(x), e q(x) tem uma raiz igual a 10, então q(x) tem a forma q(x) = m(x - 10)(x - r), onde r é outra raiz de q(x). Assim, podemos escrever: q(x) = m(x - 10)(x - r) = mx² - m(10 + r)x + 10mr. Sabemos que q(x) = mx² + nx - 3, então podemos igualar os coeficientes de x² e x: mx² - m(10 + r)x + 10mr = mx² + nx - 3. Igualando os coeficientes de x², temos: m = m. Igualando os coeficientes de x, temos: -m(10 + r) = n. Portanto, m(10 + r) = -n. Multiplicando as duas expressões por 10, temos: 10m = 10m e 10mr + 10n = -10m. Somando essas duas expressões, temos: 10mr + 10n + 10m = 0 => mr + n + m = 0. Mas sabemos que n = -3, então: mr + m - 3 = 0 => m(r + 1) = 3. Como m ≠ 0, podemos dividir os dois lados por m: r + 1 = 3/m. Mas sabemos que d = -10 e que q(x) = mx² + nx - 3, então: q(0) = -3 => 0 + 0 - 3 = -3 => n = 0. Portanto, -m(10 + r) = 0 => 10 + r = 0 => r = -10. Substituindo na expressão anterior, temos: r + 1 = 3/m => -10 + 1 = 3/m => m = -3/9 = -1/3. Logo, a alternativa d) m = 2 é incorreta.