39. (Unirio 96) Um grupo de 9 pessoas, dentre elas os irmãos João e Pedro, foi acampar. Na hora de dormir montaram 3 barracas diferentes, sendo que...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem e o Princípio da Inclusão e Exclusão. Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de organizar as pessoas em barracas, sem nenhuma restrição. Para a primeira barraca, podemos escolher duas pessoas dentre as nove, o que pode ser feito de 9 escolha 2 maneiras. Para a segunda barraca, podemos escolher três pessoas dentre as sete restantes, o que pode ser feito de 7 escolha 3 maneiras. A terceira barraca será formada pelas quatro pessoas restantes. Portanto, o número total de maneiras de organizar as pessoas em barracas é: 9C2 x 7C3 = 36 x 35 = 1260 Agora, vamos calcular o número de maneiras em que os irmãos João e Pedro dormem na mesma barraca. Podemos escolher uma das três barracas para os irmãos dormirem juntos e, em seguida, escolher as outras pessoas para as outras barracas. Para escolher a barraca dos irmãos, temos 3 opções. Para escolher as outras pessoas, temos 7 pessoas restantes, que podem ser organizadas em 2 barracas de 3 pessoas e 1 barraca de 1 pessoa. O número de maneiras de organizar as outras pessoas é: 3 x (7C3 x 4C3 x 3C1) = 3 x 35 x 4 x 3 = 1260 Observe que estamos escolhendo 3 pessoas para a primeira barraca, 4 pessoas para a segunda barraca e 1 pessoa para a terceira barraca. Isso pode ser feito de 7 escolha 3 maneiras para a primeira barraca, 4 escolha 3 maneiras para a segunda barraca e 3 escolha 1 maneira para a terceira barraca. No entanto, a contagem acima inclui as situações em que os irmãos João e Pedro dormem juntos em uma barraca e os irmãos dormem juntos em outra barraca. Precisamos subtrair essas situações para obter o número correto de maneiras em que os irmãos não dormem juntos. Para isso, podemos escolher duas das três barracas para os irmãos dormirem juntos e, em seguida, escolher as outras pessoas para as outras barracas. O número de maneiras de organizar as outras pessoas é: 3C2 x (6C3 x 3C3 x 3C1) = 3 x 1 x 1 x 3 = 9 Observe que estamos escolhendo 3 pessoas para a primeira barraca, 3 pessoas para a segunda barraca e 1 pessoa para a terceira barraca. Isso pode ser feito de 6 escolha 3 maneiras para a primeira barraca, 3 escolha 3 maneiras para a segunda barraca e 3 escolha 1 maneira para a terceira barraca. Portanto, o número de maneiras em que os irmãos não dormem juntos é: 1260 - 1260 + 9 = 9 Portanto, a resposta correta é a letra E) 910.