considere o polinômio p(x) = x³ + 2x² + x + 2. Determine o valor de a sabendo que x = - 2 e x = a - i são raízes do polinômio.Assinale a alternativ...

Para encontrar o valor de "a", podemos usar o fato de que se "x = -2" é uma raiz do polinômio, então "(x + 2)" é um fator do polinômio. Além disso, se "x = a - i" é uma raiz do polinômio, então "(x - a + i)" é um fator do polinômio. Podemos usar essas informações para escrever o polinômio como: p(x) = (x + 2)(x - a + i)(x - b - i) Onde "b" é a outra raiz do polinômio. Podemos encontrar "b" usando a divisão sintética ou o teorema do resto, mas não precisamos disso para responder à pergunta. Agora, podemos expandir o polinômio e comparar os coeficientes com a forma padrão do polinômio: p(x) = (x + 2)(x - a + i)(x - b - i) p(x) = (x² + (2 - a + i)x - 2a + 2i)(x - b - i) p(x) = x³ + (2 - a + i - b - i)x² + ((2 - a + i)(-b - i) - 2a + 2i)(x) + 2a(b + i) Igualando os coeficientes correspondentes, temos: 2 - a + i - b - i = 2 (2 - a + i)(-b - i) - 2a + 2i = 1 A primeira equação nos dá "b = a - 4". Substituindo isso na segunda equação e resolvendo para "a", temos: (2 - a + i)(-a + 3 - i) - 2a + 2i = 1 -2a² + (4 + i)a - 2 - 6i + 3i - 3 = 1 -2a² + (4 + i)a - 4 - 3i = 0 Podemos resolver essa equação usando a fórmula quadrática: a = [-(4 + i) ± sqrt((4 + i)² - 4(-2)(-4 - 3i))]/(-4) a = [-(4 + i) ± sqrt(1 - 8i)]/(-4) a = [-(4 + i) ± (sqrt(1/65) - sqrt(8/65)i)]/(-4) a = (1/2) ± (sqrt(1/65) - sqrt(8/65)i)/2 Portanto, a resposta correta é a alternativa E) a = (1/2) ± (sqrt(1/65) - sqrt(8/65)i)/2.