5. Determine os extremos relativos da função dada. a) f(x) = 4x5 − 5x4 b) f(x) = (x2 − 1)2 c) f(x) = x / √(1− x2) d) f(x) = x(x2 − 5) / 3 e) f(x) ...

a) f(x) = 4x^5 - 5x^4 Para encontrar os extremos relativos, precisamos encontrar a primeira derivada da função e igualá-la a zero. Então, temos: f'(x) = 20x^3(2x - 1) Igualando a zero, temos: 20x^3(2x - 1) = 0 Isso nos dá x = 0 ou x = 1/2. Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar a segunda derivada: f''(x) = 120x^2 - 100x^3 Substituindo x = 0, temos f''(0) = 0, o que não nos diz nada. Substituindo x = 1/2, temos f''(1/2) = -20, o que significa que esse ponto é um máximo local. Portanto, o ponto (1/2, -5/16) é um máximo local e o ponto (0, 0) é um ponto de sela. b) f(x) = (x^2 - 1)^2 Para encontrar os extremos relativos, precisamos encontrar a primeira derivada da função e igualá-la a zero. Então, temos: f'(x) = 4x(x^2 - 1) Igualando a zero, temos: 4x(x^2 - 1) = 0 Isso nos dá x = 0 ou x = ±1. Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar a segunda derivada: f''(x) = 12x^2 - 4 Substituindo x = 0, temos f''(0) = -4, o que significa que esse ponto é um máximo local. Substituindo x = ±1, temos f''(±1) = 8, o que significa que esses pontos são mínimos locais. Portanto, os pontos (-1, 0) e (1, 0) são mínimos locais e o ponto (0, 1) é um máximo local. c) f(x) = x / √(1 - x^2) Para encontrar os extremos relativos, precisamos encontrar a primeira derivada da função e igualá-la a zero. Então, temos: f'(x) = (1 - x^2)^(-1/2) + x(1 - x^2)^(-3/2)(-2x) Igualando a zero, temos: (1 - x^2)^(-1/2) + x(1 - x^2)^(-3/2)(-2x) = 0 Isso nos dá x = 0 ou x = ±1/√3. Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar a segunda derivada: f''(x) = (3x^2 - 1)(1 - x^2)^(-5/2) Substituindo x = 0, temos f''(0) = -3, o que significa que esse ponto é um máximo local. Substituindo x = ±1/√3, temos f''(±1/√3) = 8, o que significa que esses pontos são mínimos locais. Portanto, os pontos (-1/√3, -√3/2), (0, 0) e (1/√3, √3/2) são extremos relativos, sendo o primeiro e o terceiro pontos mínimos locais e o segundo ponto um máximo local. d) f(x) = x(x^2 - 5) / 3 Para encontrar os extremos relativos, precisamos encontrar a primeira derivada da função e igualá-la a zero. Então, temos: f'(x) = (x^2 - 5) / 3 + x(2x) / 3 Igualando a zero, temos: (x^2 - 5) / 3 + 2x^2 / 3 = 0 Isso nos dá x = ±√5/3. Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar a segunda derivada: f''(x) = 4x / 3 Substituindo x = ±√5/3, temos f''(±√5/3) = ±8√5/9, o que significa que esses pontos são pontos de inflexão. Portanto, não há extremos relativos para essa função. e) f(x) = xe^(-2x) Para encontrar os extremos relativos, precisamos encontrar a primeira derivada da função e igualá-la a zero. Então, temos: f'(x) = e^(-2x) - 2xe^(-2x) Igualando a zero, temos: e^(-2x) - 2xe^(-2x) = 0 Isso nos dá x = 1/2. Agora, precisamos determinar se esse ponto é um máximo ou mínimo local. Para isso, podemos usar a segunda derivada: f''(x) = 4xe^(-2x) - 2e^(-2x) Substituindo x = 1/2, temos f''(1/2) = -3e^(-1/2), o que significa que esse ponto é um máximo local. Portanto, o ponto (1/2, 1/4e^(-1/2)) é um máximo local. f) f(x) = cos(x) + sen(x), x ∈ [0, π] Para encontrar os extremos relativos, precisamos encontrar a primeira derivada da função e igualá-la a zero. Então, temos: f'(x) = -sin(x) + cos(x) Igualando a zero, temos: -sin(x) + cos(x) = 0 Isso nos dá x = π/4 ou x = 5π/4. Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar a segunda derivada: f''(x) = -cos(x) - sin(x) Substituindo x = π/4, temos f''(π/4) = -√2/2, o que significa que esse ponto é um máximo local. Substituindo x = 5π/4, temos f''(5π/4) = √2/2, o que significa que esse ponto é um mínimo local. Portanto, os pontos (π/4, √2) e (5π/4, -√2) são extremos relativos, sendo o primeiro um máximo local e o segundo um mínimo local. g) f(x) = x / (1 + x tg(x)), x ∈ [0, π/2[ Para encontrar os extremos relativos, precisamos encontrar a primeira derivada da função e igualá-la a zero. Então, temos: f'(x) = (1 + x tg(x))^(-2) * (tg(x) - x sec^2(x)) Igualando a zero, temos: tg(x) - x sec^2(x) = 0 Isso nos dá x = 0 ou x = √3. Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar a segunda derivada: f''(x) = (2tg(x) - x sec^2(x))^(-3) * (2sec^4(x) - 6x tg(x) sec^2(x) + x^2 (2tg(x) - x sec^2(x))) Substituindo x = 0, temos f''(0) = 2, o que significa que esse ponto é um mínimo local. Substituindo x = √3, temos f''(√3) = -4√3/27, o que significa que esse ponto é um máximo local. Portanto, os pontos (0, 0) e (√3, 3√3/4) são extremos relativos, sendo o primeiro um mínimo local e o segundo um máximo local. h) f(x) = 3√(x^3 - x^2) Para encontrar os extremos relativos, precisamos encontrar a primeira derivada da função e igualá-la a zero. Então, temos: f'(x) = (9x^2 - 6x) / (2√(x^3 - x^2)) Igualando a zero, temos: 9x^2 - 6x = 0 Isso nos dá x = 0 ou x = 2/3. Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar a segunda derivada: f''(x) = (18x - 6) / (4(x^3 - x^2)^(3/2)) Substituindo x = 0, temos f''(0) = 0, o que não nos diz nada. Substituindo x = 2/3, temos f''(2/3) = 27√3/4, o que significa que esse ponto é um mínimo local. Portanto, o ponto (2/3, 3√3/9) é um mínimo local e o ponto (0, 0) é um ponto de sela.