Questão 3. Calcule o comprimento da cicloide de equação −→α (t) = ⟨r(t− sen(t)), r(1− cos(t))⟩ para 0 ≤ t ≤ 2π, onde r > 0 é uma constante. Lembret...

Para calcular o comprimento da cicloide de equação −→α (t) = ⟨r(t− sen(t)), r(1− cos(t))⟩ para 0 ≤ t ≤ 2π, podemos utilizar a fórmula do comprimento de arco: L = ∫(a até b) √(dx/dt)² + (dy/dt)² dt Substituindo as funções x(t) e y(t) pela equação da cicloide, temos: L = ∫(0 até 2π) √(dx/dt)² + (dy/dt)² dt L = ∫(0 até 2π) √(r(1-cos(t)))² + (r sen(t))² dt L = ∫(0 até 2π) √r² - 2r² cos(t) + r² sen²(t) dt L = ∫(0 até 2π) √r²(1 - cos(t)) dt L = r ∫(0 até 2π) √2 sen²(t/2) dt L = r ∫(0 até 2π) √2 (1 - cos²(t/2)) dt L = r ∫(0 até 2π) √2 - 2√2 cos²(t/2) dt L = r [2√2 t - 4√2 sen(t/2) cos(t/2)] (0 até 2π) L = r [4√2] Portanto, o comprimento da cicloide é 4r√2.