Determine o trabalho realizado pelo campo de força F (x, y) = xi + (y + 2)j sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide r(t) = (t - sen(t...

Para determinar o trabalho realizado pelo campo de força F sobre o objeto que se move ao longo do arco da cicloide, podemos usar a fórmula do trabalho: W = ∫ F · dr Onde F é o campo de força e dr é o vetor deslocamento ao longo do arco da cicloide. Primeiro, vamos calcular o vetor deslocamento dr. Dado que r(t) = (t - sen(t))i + (1 - cos(t))j, podemos derivar em relação a t para obter o vetor velocidade v(t): v(t) = dr/dt = (1 - cos(t))i + sen(t)j Agora, podemos calcular o trabalho: W = ∫ F · dr = ∫ (xi + (y + 2)j) · (v(t) dt) Substituindo os valores de x, y e v(t): W = ∫ (t - sen(t))i + (1 - cos(t) + 2)j · ((1 - cos(t))i + sen(t)j) dt W = ∫ (t - sen(t))(1 - cos(t)) + (3 - cos(t)) dt Agora, podemos integrar em relação a t: W = ∫ (t - sen(t))(1 - cos(t)) + (3 - cos(t)) dt W = ∫ (t - tcos(t) - sen(t) + sencos(t) + 3 - cos(t)) dt W = ∫ (t - tcos(t) - sen(t) + sencos(t) + 3 - cos(t)) dt W = ∫ t dt - ∫ tcos(t) dt - ∫ sen(t) dt + ∫ sencos(t) dt + ∫ 3 dt - ∫ cos(t) dt W = (t^2/2) - ∫ tcos(t) dt - (-cos(t)) + (-cos(t)^2/2) + 3t - sen(t) + C Agora, podemos substituir os limites de integração 0 e 2π: W = [(2π)^2/2] - ∫ [2πcos(2π)] dt - (-cos(2π)) + (-cos(2π)^2/2) + 3(2π) - sen(2π) - [(0)^2/2] + ∫ [0cos(0)] dt - (-cos(0)) + (-cos(0)^2/2) + 3(0) - sen(0) W = π^2 - ∫ [2π(1)] dt - (-1) + (-1/2) + 6π - 0 - 0 + 0 + 0 - 0 + 0 + 0 W = π^2 - 2π^2 + 1 - 1/2 + 6π Simplificando: W = -π^2 + 6π + 1/2 Portanto, o trabalho realizado pelo campo de força F sobre o objeto que se move ao longo do arco da cicloide é -π^2 + 6π + 1/2.