C2 Lista Semanal 5 - 2022_4 (Com Gabarito)

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CÁLCULO II
2022 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 5
Questão 1. Seja C a curva definida pela função vetorial:
−→α (t) = 2t sen(t)−→i + 3t cos(t)−→j + (t+ 1)
−→
k , t ≥ 0.
a) Determine a equação do cone sobre o qual encontra-se a curva C.
Solução: Temos x(t) = 2t sen(t), y(t) = 3t cos(t) e z(t) = t + 1. Observe que
[x(t)]2 = 22t2 sen2(t), [y(t)]2 = 32t2 cos2(t) de onde concluímos
x2
22
+
y2
32
= t2 sen2(t) + t2 cos2(t) = t2.
Temos também z = t+ 1 ⇒ z − 1 = t ⇒ (z − 1)2 = t2 e assim concluímos
(z − 1)2 = x
2
22
+
y2
32
⇒ z = 1 +
√
x2
22
+
y2
32
.
b) Trace um esboço do gráfico de C.
Solução: O esboço do gráfico de C pode ser visto na Figura 1.
Figure 1: Esboço da curva C da Questão 1
c) Escreva a equação paramétrica da reta tangente à curva C no ponto P , onde
−→α (π/2) =
−→
OP .
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Universidade Federal do Pará
Cálculo II Lista de Exercícios 5
Solução: Temos
−→α (π/2) =
〈
2.
π
2
. sen(π/2), 3.
π
2
. cos(π/2), π/2 + 1
〉
= ⟨π, 0, π/2 + 1⟩ ,
logo P = (π, 0, π/2 + 1). Temos
−→α ′(t) = ⟨2 sen(t) + 2t cos(t), 3 cos(t)− 3t sen(t), 1⟩
e assim −→α ′(π/2) = ⟨2,−3π/2, 1⟩. Então a equação vetorial da reta tangente à
curva C no ponto P é dada por
−→r (t) = P + t−→α ′(π/2) ⇒ −→r (t) = ⟨π, 0, π/2 + 1⟩+ t ⟨2,−3π/2, 1⟩ ,
logo as equações paramétricas são dadas por
x = π + 2t
y = −(3π/2)t
z = π/2 + 1 + t.
Questão 2. Uma partícula move-se no espaço com vetor posição −→r (t) e velocidade
−→v (t). Sabendo que a aceleração dessa partícula no instante t é dada por
−→a (t) = ⟨2 cos(t)− t sen(t), 2 sen(t) + t cos(t), 2⟩ ,
−→v (0) = −−→j +
−→
k e −→r (0) =
−→
k , determine −→r (t) e utilize um software gráfico para
traçar a trajetória da partícula.
Solução: Temos
−→v (t) =
∫
−→a (t)dt
=
〈∫
(2 cos(t)− t sen(t))dt,
∫
(2 sen(t) + t cos(t))dt,
∫
2dt
〉
= ⟨sen(t) + t cos(t) + cx, t sen(t)− cos(t) + cy, 2t+ cz⟩ .
Então −→v (0) = ⟨cx,−1 + cy, cz⟩ de onde concluímos ⟨cx, cy, cz⟩ = ⟨0, 0, 1⟩. Então
−→v (t) = ⟨sen(t) + t cos(t), c, 2t+ 1⟩ .
Temos também
−→r (t) =
∫
−→v (t)dt
=
〈∫
(sen(t) + t cos(t))dt,
∫
(t sen(t)− cos(t))dt,
∫
(2t+ 1)dt
〉
=
〈
t sen(t) + kx,−t cos(t) + ky, t2 + t+ kz
〉
,
de modo que −→r (0) = ⟨kx,−1 + ky, kz⟩ e concluímos ⟨kx, ky, kz⟩ = ⟨0, 0, 1⟩. Assim
−→r (t) =
〈
t sen(t),−t cos(t), t2 + t+ 1
〉
.
Questão 3. Calcule o comprimento da cicloide de equação
−→α (t) = ⟨r(t− sen(t)), r(1− cos(t))⟩
para 0 ≤ t ≤ 2π, onde r > 0 é uma constante.
Lembrete: sen2(t/2) = (1− cos(t))/2.
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Cálculo II Lista de Exercícios 5
Solução: Temos
−→α ′(t) = r ⟨1− cos(t), sen(t)⟩
⇒ ||−→α ′(t)|| = r
√
(1− cos(t))2 + sen2(t) = r
√
1− 2 cos(t) + cos2(t) + sen2(t)
e assim
||−→α ′(t)|| = r
√
2− 2 cos(t) = r
√
4 sen2(t/2) = 2r sen(t/2).
Temos então ∫ 2π
0
||−→α ′(t)||dt =
∫ 2π
0
2r sen(t/2)dt
= 2r
∫ 2π
0
sen(t/2)dt
= 2r[−2 cos(t/2)]2π0
= 2r(2 + 2)
= 8r.
Questão 4. Considere a parábola semicúbica definida pela função vetorial −→α (t) =
⟨t2, t3⟩. Calcule o comprimento dessa curva no intervalo t ∈ [0, s], s > 0.
Solução: Temos ||−→α ′(t)|| = ⟨2t, 3t2⟩ e assim∫ s
0
||−→α ′(t)||dt =
∫ s
0
√
4t2 + 9t4dt
=
∫ s
0
t
√
4 + 9t2dt
onde podemos realizar uma mudança de variável u = 4 + 9t2 (logo t = 0 → u = 4,
t = s → 4 + 9s2 e du = 18tdt ⇒ tdt = du/18)∫ s
0
t
√
4 + 9t2dt =
∫ 4+9s2
4
√
u
18
du
=
1
18
·
[
2u3/2
3
]4+9s2
4
=
(4 + 9s2)3/2 − 43/2
27
=
(4 + 9s2)3/2 − 8
27
.
Questão 5. Faça um mapa de contorno para as funções abaixo, exibindo as curvas
de nível associadas aos valores k especificados:
a) f(x, y) = x2 + y2 − 8x+ 6y, para k ∈ {−20,−10,−5, 0, 5};
Solução: Escrevemos
x2 + y2 − 8x+ 6y = k
(x− 4)2 + (y + 3)2 =
√
k + 25
2
e concluímos que as curvas de nível são círculos com centro C = (4,−3) e raio√
k + 25. A Figura 2 apresenta um mapa de contorno para os valores de k especi-
ficados.
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Cálculo II Lista de Exercícios 5
Figure 2: Mapa de contorno para a função f(x, y) da Questão 5a)
b) f(x, y) = ln(x) + ln(y), para k ∈ {−2,−1, 0, 1, 2}.
Solução: Temos
ln(x) + ln(y) = k
⇒ ln(xy) = k
⇒ xy = ek.
As curvas de nível são hipérboles e o mapa de contorno para os valores k especifi-
cados está descrito na Figura 3.
Figure 3: Mapa de contorno para a função f(x, y) da Questão 5b)
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